Question

Через точку А лежащую вне окружности проведены 2 секущие.Первая пересекает окружность в точках В и С,а вторая в точках М и N,так что АВ:АС=1:7 и АМ:AN=4:7. Найдите отношение ВС:МN.Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби

Answer 1

(См. рисунок): пусть АВ = у, ВС = 6у, АМ = х, МN = $\frac{3x}{4}$; четырёхугольник ВСМN - вписанный ⇒ ∠1+∠3 = ∠2+∠4 = 180°. В ΔАВМ ∠АВМ = 180°- ∠2, ∠АМВ = 180° - ∠3 (как смежные углы) ⇒ ∠1 = ∠АМВ, ∠4 = ∠АВМ ⇒

ΔАВМ подобен ΔАСN (по трем углам, ∠А - общий) ⇒ $\frac{AB}{AN} = \frac{AM}{AC}$

(AN = АМ + МN = x +  $\frac{3x}{4} = \frac{7x}{4}$, AC = АВ + ВС = 7y) ⇒  $\frac{y}{\frac{7x}{4} } = \frac{x}{7y}$ ⇒ 4y² = x² ⇒

x = 2y ⇒ MN = $\frac{3*2y}{4} = 1,5y$ ⇒ ВС:МN = 6y : 1,5y = 4. Ответ: ВС:МN = 4

Answer 2

Для нахождения отношения ВС:МN, мы можем воспользоваться свойством секущих, которое гласит, что когда две секущие пересекают окружность, произведение длин отрезков, на которые они разбивают друг друга, равно. То есть:

АВ * АС = АМ * АН

У нас уже дано, что АВ:АС = 1:7 и АМ:АН = 4:7, поэтому мы можем выразить АВ и АМ в следующем виде:

АВ = k АС = 7k АМ = 4m АН = 7m

Теперь мы можем применить это свойство:

k * 7k = 4m * 7m

7k^2 = 28m^2

Теперь давайте разделим обе стороны на 7, чтобы упростить выражение:

k^2 = 4m^2

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

k = 2m

Теперь мы можем найти отношение ВС:МN, зная, что АВ:АС = 1:7:

ВС = 7k = 7 * 2m = 14m

MN = АН - АМ = 7m - 4m = 3m

Итак, отношение ВС:МN равно:

ВС:MN = 14m:3m = 14:3

Ответ: 14:3