Question

Даю 50 балів . Скласти рівняння лінії , кожна точка якої задовольняє вказану умову: Відношення відстаней від точки M до точок A (-3;5) i B(4;2) дорівнює 1/3.

Answer 1

Даны точки A (-3;5) и B(4;2).

Примем координаты точки М(х; у).

Вектор АМ = ((х + 3); (у - 5)), вектор ВМ = ((х - 4); (у - 2)),

Длина АМ = √(((х + 3)² + (у - 5)²) = √(x² + 6x + 9 + y² - 10y + 25),

Длина BМ = √(((х - 4)² + (у - 2)²) = √(x² - 8x + 16 + y² - 4y + 4).

По условию задания:

3*√(x² + 6x + y² - 10y + 34) = √(x² - 8x + y² - 4y + 20).

Возведём в квадрат.

9*(x² + 6x + y² - 10y + 34) = x² - 8x + y² - 4y + 20.

9x² + 54x + 9y² - 90y + 306 = x² - 8x + y² - 4y + 20.

8x² + 62x + 8y² - 86y + 286 = 0.

Сократим на 8.

x² + (31/4)x + y² - (43/4)y + (143/4) = 0.

Выделим полные квадраты и получаем уравнение окружности:

(x + (31/8))² + (y - (43/8))² = 261/32.

Центр окружности О = (-31/8); (43/8)),  радиус R = 2,855915.

Answer 2

Для створення рівняння лінії, яка задовольняє вказаній умові, вам потрібно використовувати координати точок A, B і M.

Умова задає, що відстань від точки M до точки A має становити 1/3 відстані від точки M до точки B. Ми можемо використовувати формулу відстані між двома точками у декартовій системі координат:

Для точки A(-3, 5) і точки M(x, y):

Відстань від M до A: d_MA = √((x - (-3))^2 + (y - 5)^2)

Для точки B(4, 2) і точки M(x, y):

Відстань від M до B: d_MB = √((x - 4)^2 + (y - 2)^2)

За умовою, ми маємо:

d_MA / d_MB = 1/3

Підставимо вирази для d_MA та d_MB:

√((x - (-3))^2 + (y - 5)^2) / √((x - 4)^2 + (y - 2)^2) = 1/3

Тепер піднесемо обидві сторони рівняння до квадрата, щоб позбавитися від знаків коренів:

((x - (-3))^2 + (y - 5)^2) / ((x - 4)^2 + (y - 2)^2) = (1/3)^2

(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = (1/9) * ((x - 4)^2 + (y - 2)^2)

Тепер можемо розкрити квадрати і спростити рівняння:

(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25) = (1/9) * ((x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4))

9(x^2 + 6x + 9) + 9(y^2 - 10y + 25) = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4

Розкриємо дужки і спростимо:

9x^2 + 54x + 81 + 9y^2 - 90y + 225 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4

Тепер групуємо подібні члени:

8x^2 + 98x + 8y^2 - 86y + 206 = 0

Отже, рівняння лінії, кожна точка якої задовольняє вказану умову, є:

8x^2 + 8y^2 + 98x - 86y + 206 = 0

Це рівняння в квадратичній формі.