Question

Расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра вписанной окружности равно 4 корней из 2, а площадь треугольника равна 80. Найдите длину гипотенузы. ​

Answer 1

Ответ:  16.

Объяснение:

Из ц. окружности опускаем перпендикуляры на стороны треугольника. Получили квадрат OMCN со стороной равной радиусу r окружности

По т. Пифагора 2r²=(4√2)² => 2r²=32 =>  r²=16 => r=4.

Площадь квадрата OMCN = 4²=16;

Площадь треугольника АОВ = (SABC - SОМСN)/2 = (80-16)/2=32;

или площадь треугольника АОВ = АВ*ОК/2;

AB*4/2=32 =>  AB*4=64 => AB=16.

Answer 2

Давайте обозначим вершину прямого угла треугольника как A, а центр вписанной окружности как I. По условию, расстояние от вершины A до центра I равно 4√2.

Также известно, что площадь треугольника равна 80. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как (произведение катетов) / 2, поэтому:

(AB * AC) / 2 = 80,

где AB и AC - катеты треугольника.

Теперь мы можем использовать информацию о расстоянии от вершины A до центра I. Расстояние от вершины A до центра вписанной окружности равно половине суммы катетов:

(AB + AC) / 2 = 4√2.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. AB * AC = 160.
2. AB + AC = 8√2.

Теперь мы хотим найти длину гипотенузы, которую обозначим как BC. Мы можем использовать теорему Пифагора:

BC² = AB² + AC².

Теперь мы знаем, что AB * AC = 160 и AB + AC = 8√2. Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения AB и AC, а затем использовать их для нахождения длины гипотенузы BC.

Давайте решим систему:

AB * AC = 160, AB + AC = 8√2.

Сначала найдем значения AB и AC:

AB = 8√2 - AC.

Теперь подставим это в первое уравнение:

(8√2 - AC) * AC = 160.

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

8√2 * AC - AC² = 160.

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

AC² - 8√2 * AC + 160 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант, чтобы определить, есть ли решения:

D = (8√2)² - 4 * 1 * 160 = 128 - 640 = -512.

Дискриминант отрицательный, что означает, что уравнение имеет комплексные корни. Однако для нас важно только фактическое значение длины гипотенузы BC, которое является положительным. Таким образом, мы можем игнорировать комплексные корни.

Теперь, чтобы найти BC, мы можем воспользоваться квадратным корнем:

BC = √(AC² + AB²).

Так как мы знаем, что AB * AC = 160 и AB + AC = 8√2, мы можем найти значения AB и AC и затем найти длину гипотенузы BC.