Question

"Дан прямоугольный треугольлник с площадью 8√3 кв.см. Найти длину медианы, проведённой из вершины прямого угла, если один из острых углов треугольника в два раза меньше другого острого угла"

Answer 1

Ответ:

m= 4 см

Объяснение:

во вложении

Answer 2

Давайте обозначим длину медианы, проведенной из вершины прямого угла, как $m$, длину катета прямоугольного треугольника как $a$, длину второго катета как $b$, и угол между медианой и одним из острых углов как $\theta$.

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна $8\sqrt{3}$ квадратных сантиметров. Площадь треугольника можно выразить как $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, так как это прямоугольный треугольник:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 8\sqrt{3} \, \text{см}^2$

Теперь, давайте рассмотрим угол $\theta$. У нас есть информация, что один из острых углов треугольника в два раза меньше другого острого угла. Обозначим больший угол как $\alpha$, а меньший как $\beta$. Таким образом, мы имеем:

$\alpha = 2\beta$

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому:

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

Подставим $\alpha = 2\beta$ в это уравнение:

$2\beta + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

Сложим углы:

$3\beta + 90^\circ = 180^\circ$

Выразим $\beta$:

$3\beta = 180^\circ - 90^\circ$ $3\beta = 90^\circ$ $\beta = 30^\circ$

Теперь мы знаем, что $\beta = 30^\circ$, и, следовательно, $\alpha = 2\beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Теперь мы можем найти длину медианы $m$ с использованием тригонометрии. Медиана делит прямоугольный треугольник на два равных треугольника. Мы рассматриваем половину треугольника с углом $\alpha = 60^\circ$.

Мы знаем, что тангенс угла $\theta$ можно выразить как отношение длины медианы к половине длины катета $a$:

$\tan(\theta) = \frac{m}{a/2}$

Теперь мы можем выразить $m$:

$m = \frac{a}{2} \cdot \tan(\theta)$

Нам нужно найти значение $\tan(\theta)$. Из тригонометрических соотношений для треугольника с углом $\theta$, противолежащим катетом $b$ и гипотенузой $m$, мы имеем:

$\tan(\theta) = \frac{b}{m}$

Подставим это в предыдущее уравнение:

$m = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{m}$

Теперь мы знаем, что $a \cdot b = 16\sqrt{3}$ (из уравнения площади треугольника выше). Мы также знаем, что $\tan(\theta) = \frac{b}{m}$. Подставим эти значения:

$m = \frac{a}{2} \cdot \frac{a \cdot b}{16\sqrt{3}}$

Теперь подставим $a \cdot b = 16\sqrt{3}$:

$m = \frac{a}{2} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}$

Сократим 16 и $\sqrt{3}$ на обоих сторонах:

$m = \frac{a}{2}$

Итак, длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна половине длины катета $a$:

$m = \frac{a}{2}$ 0 0