Question

вершина С правильного треугольника АВС проектируется в центр правильного треугольника ABD. Найдите угол между плоскостями ABC и ABD ​

Answer 1

Ответ: arccos(1/3), это ≈ 70°31`

Объяснение:

  Угол между плоскостями –  двугранный угол. Его величина  определяется градусной мерой линейного угла, сторонами которого являются лучи, проведённые в его гранях перпендикулярно ребру с общим началом на нём.

   Треугольники АВС и ABD – равносторонние, сторона АВ - общая, следовательно, эти треугольники равны между собой. Соответственно, равны и их высоты: СН=DH.  

  Искомый угол – ∠СНО, образованный высотами обоих треугольников, проведенных  к общей стороне АВ.  

  Центр О правильного треугольника – центр пересечения его высот ( медиан и биссектрис) и  является центром вписанной и описанной окружности.  

     ОН=радиус вписанной окружности и равен 1/3 высоты правильного треугольника. СН - полная высота =1= 3/3.  

  Угол СНО – искомый, его косинус ОН:СН=1/3:1=1/3

Искомый угол – arccos(1/3), это ≈ 70°31`

Answer 2

Звучит как сложная геометрическая задача! Угол между плоскостями можно найти, зная их нормали. Но для начала давайте вспомним, что проекция вершины С на плоскость ABD создает высоту треугольника ABC. Это значит, что вектор из центра ABD к проекции вершины C будет перпендикулярен плоскости ABC.

Таким образом, вектор, направленный от вершины A треугольника ABC к проекции вершины C на плоскость ABD, будет нормалью к плоскости ABC.

Зная нормали к обеим плоскостям, вы можете использовать скалярное произведение нормалей для нахождения угла между плоскостями. Угол θ можно выразить следующим образом:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{N_{ABC}} \cdot \vec{N_{ABD}}}{|\vec{N_{ABC}}| \cdot |\vec{N_{ABD}}|}$

Где $\vec{N_{ABC}}$ и $\vec{N_{ABD}}$ - нормали к плоскостям ABC и ABD соответственно.

Если у вас есть конкретные значения координат вершин треугольников, я могу попробовать помочь вам с расчетами.