Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Известно, что AD+BD=AC. На стороне AC выбрана точка K такая, что BD=CK. Найти: a) Докажите, что около четырёхугольника ABDK можно описать окружность. b) Найдите угол BAC

Answer 1

Ответ:

40° ....................................

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим это задание шаг за шагом.

a) Докажем, что около четырёхугольника ABDK можно описать окружность.

Мы знаем, что AD + BD = AC. Из этого можно заключить, что AD + CK = AC, так как BD = CK. Рассмотрим треугольник ACD:

ACD - это равнобедренный треугольник, и биссектриса AD делит угол CAD пополам. Поэтому угол CAD = угол BAD.

Теперь рассмотрим четырёхугольник ABDK. У нас есть следующие факты:

1. Угол BAD = угол CAD.
2. Угол BDK = угол ADK, так как BD и CK - это равные отрезки.
3. Угол BAD + угол ADK = 180 градусов, так как они дополняют друг друга до прямого угла (из свойств равнобедренного треугольника).

Из этих фактов следует, что угол CAD + угол ADK = 180 градусов. То есть сумма углов в четырёхугольнике ABDK равна 360 градусов, что означает, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.

b) Найдем угол BAC.

У нас уже есть факт, что угол BAD = угол CAD. Известно, что угол BDA и угол CDA - это равные углы, так как треугольник ABD - равнобедренный. Таким образом, угол BAD = угол CAD = угол BDA = угол CDA.

Теперь рассмотрим треугольник BDC. У нас есть угол BDC и угол BCD (из-за равнобедренности треугольника ABD), и они в сумме равны 180 градусов (прямой угол).

Таким образом, угол BDC + угол BCD = 180 градусов. Но угол BCD = угол BAD (по равенству углов), поэтому угол BDC + угол BAD = 180 градусов.

Из этого следует, что угол BDC = 180 градусов - угол BAD. Но угол BAD = угол CAD, поэтому угол BDC = 180 градусов - угол CAD.

Теперь мы можем найти угол BAC:

Угол BAC = угол BAD + угол CAD = угол CAD + угол CAD = 2 * угол CAD.

Но мы знаем, что угол BDC = 180 градусов - угол CAD, поэтому:

2 * угол CAD + угол CAD = 180 градусов.

3 * угол CAD = 180 градусов.

Угол CAD = 180 градусов / 3 = 60 градусов.

Итак, угол BAC равен 2 * 60 градусов = 120 градусов.