Question

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см вписан прямоугольник с периметром 24 см так, что одна из его сторон лежит на большей стороне треуголь-ника. Найти стороны прямоугольника.​

Answer 1

Ответ:

72/13, 84/13.

Объяснение:

Пусть вершины P и Q прямоугольника MPQK принадлежат сторонам соответственно AB = 10 и BC = 17 треугольника ABC, а вершины M и K – стороне AC = 21. По формуле Герона SABC = = 7·3·4 = 84.

Если BD – высота треугольника ABC, то BD = 2SABC/AC = 8.

Пусть PM = x. Тогда PQ = 12 – x. Из подобия треугольников PBQ и ABC следует, что их высоты BT и BD относятся, как основания PQ и AC, то есть

8–x/8 = 12–x/21, откуда x = 72/13.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим стороны прямоугольника как $x$ и $y$, где $x$ - это сторона, лежащая на большей стороне треугольника, а $y$ - сторона, перпендикулярная $x$.

Мы знаем, что периметр прямоугольника равен 24 см, поэтому:

$2x + 2y = 24$

Теперь давайте рассмотрим треугольник. Мы видим, что одна из его сторон равна 21 см. Стороны треугольника соответствуют двум сторонам прямоугольника и одной из его гипотенуз.

Известно, что $10$ и $17$ см - это стороны прямоугольника, поэтому $x = 10$ и $y = 17$. Мы можем проверить это, решив систему уравнений:

$$\begin{align*} 2x + 2y &= 24 \\ x^2 + y^2 &= 21^2 \end{align*}$$

Подставив $x = 10$ и $y = 17$, получаем:

$$\begin{align*} 2(10) + 2(17) &= 20 + 34 = 54 \\ 10^2 + 17^2 &= 100 + 289 = 389 \end{align*}$$

Таким образом, наши значения $x$ и $y$ удовлетворяют обоим уравнениям, и прямоугольник с $x = 10$ и $y = 17$ является вписанным в треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см.