Question

Точки E и F лежат на сторонах BC и CD параллелограмма ABCD соответственно, причём BE:EC=DF:FC=1:2. Отрезки AE и BF пересекаются в точке K. Найдите отношение площади четырёхугольника CEKF к площади треугольника AFK.

Answer 1

Ответ:

2

Объяснение:

в условии видимо ошибка: в отношении вместо FC нужно FD. Если так, то

Треугольники AFK и EBK подобны, коэффициент подобия 2 ( т.к. AF:BE=2:1). Тогда их высоты относятся как 2:1 и соответственно составляют 1/what и 2/3h, где h - высота параллелограмма к стороне AD.

Обозначим длину стороны AD=BC=a. Тогда AF=2/3a, BE=1/3a.

Значит S треугольника AFK = 1/2(2/3h×2/3a)= 2/9ah

S параллелограмма CEKF= S треугольника BCF - S треугольника BKE = 1/2ah - 1/2(1/3a×1/3h)=1/2ah-1/18ah=8/18ah=4/9ah.

Тогда отношение площадей равно= 4/9ah:2/9ah=2.

Answer 2

Для нахождения отношения площади четырёхугольника CEKF к площади треугольника AFK, давайте воспользуемся свойствами подобных треугольников и площадями.

Известно, что BE:EC = 1:2 и DF:FC = 1:2. Это означает, что точка E делит отрезок BC в отношении 1:2, и точка F делит отрезок CD также в отношении 1:2. Таким образом, мы можем представить следующее:

BE = (1/3) * BC EC = (2/3) * BC DF = (1/3) * CD FC = (2/3) * CD

Теперь рассмотрим треугольник ABE и треугольник ADF. Они подобны, так как у них один общий угол A, и отношение длин их сторон одинаково (1:2).

Из этой подобности следует, что отношение площадей треугольников ABE и ADF также равно 1:4, так как площадь треугольника пропорциональна квадрату длин его сторон.

Теперь рассмотрим четырёхугольник CEKF. Мы видим, что он также подобен треугольнику ABE и ADF, так как у них общий угол EKF, и отношение длин сторон в этих треугольниках также одинаково (1:2).

Из подобности следует, что отношение площадей четырёхугольника CEKF к треугольнику ABE (и, следовательно, к треугольнику ADF) также равно 1:4.

Таким образом, отношение площади четырёхугольника CEKF к площади треугольника AFK также равно 1:4.