Question

в прямоугольный треугольник с площадью 24 см² вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2:3 . найдите длины сторон треугольника​

Answer 1

BMW52

В приложенном файле.

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.

Точка касания окружности с гипотенузой делит её на две части в отношении 2:3, то есть:

2x = 3y

где x - длина одной части гипотенузы, и y - длина другой части гипотенузы.

Также, площадь прямоугольного треугольника равна 24 см²:

(1/2)ab = 24

Так как треугольник вписан в окружность, точка касания лежит в центре окружности, и гипотенуза является диаметром окружности. Таким образом:

c = 2r

где r - радиус окружности.

Так как гипотенуза делится в отношении 2:3, можно выразить её длину через x и y:

c = 2x + 3y

Теперь у нас есть два уравнения, связанных с длинами сторон треугольника:

1. (1/2)ab = 24
2. c = 2x + 3y

Сначала решим первое уравнение для a:

ab = 48

a = 48 / b

Теперь подставим это выражение для a во второе уравнение:

2x + 3y = 2r

Также, мы знаем, что c = 2r, поэтому:

2x + 3y = c

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ab = 48
2. 2x + 3y = c

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Подставив выражение для a из первого уравнения во второе, получаем:

2(48 / b) + 3y = c

96/b + 3y = c

Теперь у нас есть выражение для c в терминах b и y. Мы также знаем, что c = 2r. Таким образом:

96/b + 3y = 2r

Теперь мы имеем два выражения для c в терминах b, y и r:

1. 2r = 96/b + 3y
2. c = 2r

Теперь нам нужно найти выражение для r, чтобы далее решить систему уравнений. Обратимся к формуле площади окружности:

S = πr²

где S - площадь окружности. Площадь окружности равна половине площади прямоугольного треугольника, так как она вписана в него. Таким образом:

πr² = (1/2) * 24

πr² = 12

r² = 12/π

r = √(12/π)

Теперь мы можем подставить это значение r в первое уравнение:

2r = 96/b + 3y

2√(12/π) = 96/b + 3y

Теперь мы имеем систему уравнений с двумя неизвестными b и y:

1. 2√(12/π) = 96/b + 3y
2. ab = 48

Давайте решим эту систему. Начнем с уравнения (2), выразим a через b:

a = 48/b

Теперь подставим это значение a в уравнение (1):

2√(12/π) = 96/b + 3y

Упростим это уравнение:

2√(12/π) - 96/b = 3y

Теперь, чтобы найти значение y, делим обе стороны на 3:

(2/3)√(12/π) - 32/b = y

Теперь мы знаем значения a и y. Чтобы найти b, можем использовать уравнение (2):

ab = 48

(48/b) * b = 48

b = 1

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника:

a = 48 b = 1 c = 2√(12/π)

Площадь прямоугольного треугольника равна:

(1/2)ab = (1/2) * 48 * 1 = 24

Площадь совпадает с заданной в условии, и мы нашли длины сторон треугольника:

a = 48 b = 1 c = 2√(12/π)