Question

Две прямые касаются окружности с центром О в точка P и Q и пересекаются в точке A, причем угол PAQ = 120, а радиус окружности равен 3. а) Найти длину отрезка АО б) Прямая PQ пересекает отрезок AO в точке К. Найдите длину отрезка OK.

Answer 1

Ответ:

2√3 см;  ≈2,6 см

Объяснение:

РАО - прямоугольный по свойству радиуса и касательной к окружности.

∠РАО=1/2 ∠РАQ, что следует из равенства треугольников РАО и QАО (АР=АQ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, ∠АРО=∠АQО=90°,  АО - общая сторона)

∠РАО=120:2=60°, тогда ∠РОА=90-60=30°

а) Найдем АО по теореме синусов

ОР/sin60°=AO/sin90°

AO=3*1:√3/2=6/√3=6√3/3=2√3 cм

б) КР=1/2 ОР по свойству катета, лежащего против угла 30°

КР=1,5 см

ОК=√(3²-1,5²)=√(9-2,25)=√6,75≈2,6 см.

Answer 2

Ответ:

$AO =2\sqrt{3}\\KO =1.5\sqrt{3}$

Объяснение:

Если ∠PAQ = 120°, то угол ∠PAO = 60°, поскольку AO  это биссектриса угла. ∠APO - прямой, поскольку AP - касательная. Значит ∠POA = 180-60-90=30°

OP = 3.

AO - гипотенуза в прямоугольном треугольнике.

$\frac{OP}{AO} = \cos(POA)\\AO = \frac{OP}{ \cos(POA)} = \frac{3*2}{ \sqrt{3} } =2\sqrt{3}$

Из треугольника OKP имеем

$\frac{KO}{PO}=\cos(POK) \\KO = PO\cos(POK) =3*\frac{\sqrt{3} }{2} =1.5\sqrt{3}$

Answer 3

Для решения этой задачи, давайте разберемся с каждой частью поочередно.

а) Найдем длину отрезка АО:

Угол PAQ равен 120 градусам, и мы знаем, что это угол на окружности, который отсекает дугу между точками P и Q. Дуга, соответствующая углу 120 градусов, составляет 1/3 от всей окружности, так как полная окружность содержит 360 градусов. Радиус окружности равен 3, поэтому длина этой дуги равна 1/3 от длины окружности:

Длина дуги PAQ = (1/3) * (2 * π * 3) = 2 * π.

Теперь, чтобы найти длину отрезка АО, который является радиусом, достаточно использовать тот факт, что длина дуги равна произведению угла в радианах на радиус:

Длина отрезка АО = Длина дуги PAQ = 2 * π.

Ответ: Длина отрезка АО равна 2 * π.

б) Найдем длину отрезка OK:

Мы знаем, что прямая PQ пересекается с отрезком AO. Поскольку A является точкой пересечения прямых PA и QA, она также является точкой пересечения отрезка AO. Таким образом, точка K является точкой пересечения отрезка PQ и отрезка AO.

Теперь, давайте найдем длину отрезка OK, используя треугольник OAK. Треугольник OAK - это равносторонний треугольник, потому что угол PAQ равен 120 градусам, и каждый угол треугольника OAK равен 60 градусам. Радиус окружности (OA) мы уже знаем - он равен 3.

Чтобы найти длину отрезка OK, мы можем использовать тот факт, что в равностороннем треугольнике длина медианы (OK) равна половине длины стороны треугольника (OA). Таким образом,

Длина отрезка OK = (1/2) * Длина отрезка OA = (1/2) * 2 * π = π.

Ответ: Длина отрезка OK равна π.