Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(15;3), B(18;9), C(12;12) и D(9;6). SABCD=

Answer 1

Ответ:

Докажем, что это прямоугольник. Докажем, что вектор AB параллелен вектору CD:

(AB) = ( 19 — 15; 5 — 3 ).

(AB) = ( 4; 2 ).

(CD) = ( 13 — 17; 7 — 9 ).

(CD) = ( - 4; - 2 ).

( 4/2 ) = ( ( - 4 )/( - 2 ) ).

Мы можем утверждать, что AB параллельно CD.

Найдем длину векторов AB и CD:

|AB| = √( 16 + 4 ) = √20.

|CD| = √( 16 + 4 ) = √20.

Так как вектора параллельны и из длины равны, можно утверждать, что данный четырехугольник является прямоугольником.

Найдем площадь прямоугольника:

S = AB * CD = √20 * √20 = 20.

Ответ: доказано; 20.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы должны проверить две вещи: углы и стороны.

Проверка углов:

Для того чтобы четырёхугольник был прямоугольником, все его углы должны быть прямыми углами (т.е. равны 90 градусам).

Для этого нам понадобятся координаты точек A, B, C и D. Давайте вычислим векторы AB и BC, а затем найдем их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, значит, векторы AB и BC перпендикулярны, и угол между ними равен 90 градусам.

Координаты точек: A(15;3), B(18;9), C(12;12), D(9;6)

Вычислим векторы AB и BC: AB = (xB - xA, yB - yA) = (18 - 15, 9 - 3) = (3, 6) BC = (xC - xB, yC - yB) = (12 - 18, 12 - 9) = (-6, 3)

Вычислим их скалярное произведение: AB · BC = (3 * -6) + (6 * 3) = -18 + 18 = 0

Так как скалярное произведение AB и BC равно нулю, это означает, что угол между векторами AB и BC равен 90 градусам. Таким образом, углы ABC и BCD являются прямыми углами.

Проверка сторон:

Чтобы четырёхугольник был прямоугольником, длины его противоположных сторон должны быть равны.

Длины сторон AB, BC, CD и DA можно вычислить, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина стороны AB: AB = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2) = √((18 - 15)^2 + (9 - 3)^2) = √(3^2 + 6^2) = √(9 + 36) = √45 ≈ 6.708

Длина стороны BC: BC = √((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2) = √((12 - 18)^2 + (12 - 9)^2) = √((-6)^2 + 3^2) = √(36 + 9) = √45 ≈ 6.708

Длина стороны CD: CD = √((xD - xC)^2 + (yD - yC)^2) = √((9 - 12)^2 + (6 - 12)^2) = √((-3)^2 + (-6)^2) = √(9 + 36) = √45 ≈ 6.708

Длина стороны DA: DA = √((xA - xD)^2 + (yA - yD)^2) = √((15 - 9)^2 + (3 - 6)^2) = √(6^2 + (-3)^2) = √(36 + 9) = √45 ≈ 6.708

Как видно из вычислений, все стороны AB, BC, CD и DA имеют одинаковую длину, примерно 6.708. Следовательно, все стороны противоположным сторонам и четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Найдем площадь прямоугольника ABCD:

Чтобы найти площадь прямоугольника, нам понадобится длина одной его стороны и длина противоположной стороны. Мы уже вычислили, что все стороны прямоугольника ABCD равны примерно 6.708.

Площадь прямоугольника S = длина * ширина

Длина = AB = BC = CD = DA = 6.708

Ширина = BC = CD = 6.708 (выбираем одну из противоположных сторон)

S = 6.708 * 6.708 S ≈ 44.979

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD примерно равна 44.979.