Question

3. Докажите, что если в параллелограмме равны высоты, прове- денные из одной вершины, то этот параллелограмм является ром-бом.​

Answer 1

Рассмотрим прямоугольные треугольники АН1В и СН2В. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, выразим углы АВН1 и СВН2:

<ABH1=90-<A, <CBH2=90-<C, но

<A=<C как противоположные углы параллелограмма, следовательно

<ABH1=<CBH2.

Используем один из признаков равенства прямоугольных треугольников: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треуг-ка соответственно равен катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. В нашем случае:

- ВН1=ВН2 по условию;

- углы АВН1 и СВН2 равны как показано выше.

Значит, треуг-ки АН1В и СН2В равны, и АВ=СВ=СЕ=АЕ. Параллелограмм, у которого все стороны равны - ромб. АВСЕ - ромб.

Answer 2

Для доказательства утверждения о том, что параллелограмм с равными высотами, проведенными из одной вершины, является ромбом, давайте воспользуемся определением ромба и свойствами параллелограмма.

Определение ромба: Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны, а углы равны 90 градусов.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Давайте обозначим вершину параллелограмма, из которой проведены высоты, как A, и пусть высоты пересекаются в точке O.

Так как высоты проведены из одной вершины, они перпендикулярны к основаниям параллелограмма. Поэтому у нас есть два прямых угла при вершине A, и это гарантирует, что угол A = 90 градусов.

Теперь рассмотрим высоты. Высоты, проведенные из вершины A, делят параллелограмм на четыре равных треугольника: два верхних и два нижних. Это происходит потому, что все высоты равны, и они образуют две пары вертикальных углов (верхний и нижний).

Теперь обратим внимание, что внутри этих треугольников, угол A равен 90 градусов (как угол при вершине A). Таким образом, в каждом из этих треугольников у нас есть два угла по 90 градусов, что делает их прямоугольными треугольниками.

Таким образом, у нас есть четыре прямых угла внутри параллелограмма, который имеет равные высоты, проведенные из одной вершины, и угол A = 90 градусов. Это свойство гарантирует, что все углы параллелограмма равны 90 градусов, и все его стороны равны. Это определение ромба.

Следовательно, если в параллелограмме равны высоты, проведенные из одной вершины, то этот параллелограмм является ромбом.