Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(13;2), B(17;10), C(13;12) и D(9;4). SABCD=

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

→AB={17-13; 10-2}={4; 8}

→DC={13-9; 12-4}={4; 8}

→AB=→DC⇒AB=CD, AB||CD⇒ABCD-параллелограмм

→BC={13-17; 12-10}={-4; 2}

→AB·→BC=4·(-4)+8·2=-16+16=0

→AB·→BC=0⇒→AB⊥→BC⇒∠ABC=90°

ABCD-параллелограмм, ∠ABC=90°⇒ABCD-прямоугольник

AB²=|→AB|²=4²+8²=16+64=80

BC²=|→BC|²=(-4)²+2²=16+4=20

S²=(AB·BC)²=AB²·BC²=80·20=1600

S=40

Answer 2

Для доказательства, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нужно проверить, являются ли противоположные стороны параллельными и равными. Если это так, то четырёхугольник будет прямоугольником.

Для этого вычислим угловые коэффициенты прямых, проходящих через соседние вершины: - Прямая AB: коэффициент наклона = (10-2) / (17-13) = 8 / 4 = 2 - Прямая BC: коэффициент наклона = (12-10) / (13-17) = 2 / (-4) = -0.5 - Прямая CD: коэффициент наклона = (4-12) / (9-13) = -8 / (-4) = 2 - Прямая DA: коэффициент наклона = (2-4) / (13-9) = -2 / 4 = -0.5

Как видно, угловые коэффициенты для противоположных сторон равны: AB и CD равны 2, а BC и DA равны -0.5. Также стороны AB и CD имеют одинаковую длину: √( (17-13)^2 + (10-2)^2 ) = √(4^2 + 8^2) = √(16 + 64) = √80, а стороны BC и DA также имеют одинаковую длину: √( (13-9)^2 + (12-4)^2 ) = √(4^2 + 8^2) = √(16 + 64) = √80.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что стороны прямоугольника ABCD являются параллельными и равными, следовательно, данный четырёхугольник является прямоугольником.

Для вычисления площади прямоугольника ABCD, можно воспользоваться формулой S = a * b, где a и b - длины сторон прямоугольника.

Длина стороны AB = √( (17-13)^2 + (10-2)^2 ) = √(4^2 + 8^2) = √(16 + 64) = √80 Длина стороны BC = √( (13-9)^2 + (12-4)^2 ) = √(4^2 + 8^2) = √(16 + 64) = √80

Площадь прямоугольника ABCD = √80 * √80 = 80