Question

Стороны четырехугольника, вписанного в окружность, равны соответственно AB=1, BC=2, CD=3 и AD=1. найдите длину диагонали BD. варианты ответа: 1)1/72)5/корень из пяти 3)74)55)5/корень из семи ​

Answer 1

Ответ:

5/√7

Объяснение:

запишем две теоремы косинусов для двух треугольников, учитывая, что четырёхугольник вписанный, а значит сумма противоположных углов равна 180° и cos(180°-a) = -cos a

BD² = 1²+1²-2*1*1*cos a

BD² = 2²+3²-2*2*3*cos (180°-a)

BD² = 2-2*cos a

BD² = 13-12*(-cos a)=13+12*cos a

приравнивая правые части получаем, что 2-2*cos a = 13+12*cos a

-11 = 14*cos a, откуда cos a = -11/14

BD² = 2-2*cos a = 2-2*(-11/14) = 2+(11/7) = 25/7

BD = 5/√7

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства вписанных четырехугольников и окружностей. Давайте обозначим центр окружности как O.

Свойства вписанного четырехугольника:

1. Диагонали вписанного четырехугольника делят друг друга пополам. 2. Противоположные углы в вписанном четырехугольнике равны.

Теперь давайте рассмотрим четырехугольник ABCD. По условию задачи, AB = 1, BC = 2, CD = 3, и AD = 1.

Так как диагонали делят друг друга пополам, то AO = OD = 1 (половина длины диагонали AD).

Теперь давайте рассмотрим треугольник BOD. Мы знаем, что BD - это диагональ четырехугольника ABCD, и мы хотим найти ее длину.

Треугольник BOD - это прямоугольный треугольник, так как OA и OD - это радиус и диаметр окружности, и угол BOD прямой угол.

Применим теорему Пифагора к треугольнику BOD:

\[ BD^2 = BO^2 + OD^2 \]

\[ BD^2 = (BO + OD)^2 \]

\[ BD^2 = (1 + 1)^2 \]

\[ BD^2 = 4 \]

\[ BD = 2 \]

Таким образом, длина диагонали BD равна 2. Ответ: 4) 2.