Question

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13см, а сумма катетов равна 17см. Найти катеты треугольника.

Answer 1

Пусть $x-$ один катет, второй - $(17-x).$ По теореме Пифагора: $x^{2} +(17-x)^2=13^2\Longrightarrow x^{2} +(17-x)^2-13^2=0; x^2+289-34x+x^{2} -169=0; 2x^2+120-34x=0; 2x^2-34x+120=0; a=2;b=-34;c=120;D=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot2\cdot120=1156-960=196; x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\dfrac{-(-34)-\sqrt{196} }{2\cdot2} =\dfrac{34-14}{4} =\dfrac{20}{4} =5; x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\dfrac{34+14}{4} =\dfrac{48}{4}=12.$

Сложим корни: $x_{1}+x_{2} =5+12=17.$ Так как сумма корней равна 17, то они являются катетами. Ответ: катеты равны 5 и 12.

При решении квадратного уравнения применялась еще одна формула: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \), а гипотенузу как \( c \). В вашем случае:

\( c = 13 \) см (гипотенуза) и сумма катетов \( a + b = 17 \) см.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике справедлива теорема Пифагора, которая гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Вставим значения:

\[ 13^2 = a^2 + b^2 \]

\[ 169 = a^2 + b^2 \]

Также у нас есть уравнение для суммы катетов:

\[ a + b = 17 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{align*} a^2 + b^2 &= 169 \quad \text{(1)} \\ a + b &= 17 \quad \text{(2)} \end{align*} \]

Решим эту систему. Из уравнения (2) можно выразить, например, \( a \) через \( b \):

\[ a = 17 - b \]

Подставим это выражение в уравнение (1):

\[ (17 - b)^2 + b^2 = 169 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 289 - 34b + 2b^2 + b^2 = 169 \]

\[ 3b^2 - 34b + 120 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Результаты будут значения для \( b \). После нахождения \( b \), мы сможем найти \( a \) из уравнения (2).

Решив уравнение \( 3b^2 - 34b + 120 = 0 \), получим два корня \( b_1 \) и \( b_2 \). Выберем тот, который имеет смысл в данном контексте (например, положительный, так как длины сторон не могут быть отрицательными). После нахождения \( b \), найдем \( a \) из уравнения \( a + b = 17 \).

Таким образом, можно найти значения катетов \( a \) и \( b \) для заданного прямоугольного треугольника.