Question

Через вершины треугольника АВС провели прямые, параллельные противоположным сторонам этого треугольника Эти прямые попарно пересекаются в точках М, К и Н Найдите периметр треугольника АВС, если сумма периметров всех получившихся при этом параллелограммов равна 56 см.​

Answer 1

Ответ:

14 см

Объяснение:

решение ниже

Answer 2

Давайте обозначим вершины треугольника \(ABC\): \(A\), \(B\), и \(C\). Также обозначим точки пересечения прямых, проведенных через вершины, как \(M\), \(K\), и \(N\).

Согласно условию, проведены прямые через вершины треугольника, параллельные противоположным сторонам. Это означает, что получившиеся фигуры - три параллелограмма: \(ABMK\), \(BCNK\), и \(CAMN\).

Теперь давайте обратим внимание на свойства параллелограммов:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине. 2. Диагонали параллелограмма делят его на две равные по площади части.

Сумма периметров всех трех параллелограммов равна сумме длин их сторон:

\[ AB + BM + MK + KA + BC + CN + NK + KB + CA + AM + MN + NC \]

Так как противоположные стороны параллелограммов равны, некоторые члены в этой сумме сокращаются:

\[ AB + BM + MK + KA + BC + CN + NK + KB + CA + AM + MN + NC = AB + BC + CA + 2(MN + NK + KM) \]

Теперь у нас есть сумма периметров трех параллелограммов. Согласно условию задачи, эта сумма равна 56 см:

\[ AB + BC + CA + 2(MN + NK + KM) = 56 \]

Теперь нужно выразить периметр треугольника \(ABC\) через длины его сторон. Периметр треугольника - это сумма длин его сторон:

\[ AB + BC + CA \]

Таким образом, выражение для периметра треугольника через длины его сторон:

\[ \text{Периметр треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{Сумма периметров параллелограммов} = \frac{1}{2} \times 56 = 28 \, \text{см} \]

Таким образом, периметр треугольника \(ABC\) равен 28 см.