Question

В параллелограмме через точку пересечения его диагоналей проведена прямая , параллельная стороне . Докажите, что проходит через середины сторон и .

Answer 1

Ответ:

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Отрезки данной прямой являются средними линиями в треугольниках, образованных диагональю и смежными сторонами параллелограмма, по признаку средней линии треугольника. (Если отрезок соединяет середину одной стороны треугольника с точкой на другой стороне и параллелен третьей стороне, то он является средней линией.)

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим параллелограмм ABCD, где AC и BD - его диагонали, и M - точка их пересечения.

1. Поскольку прямая проведена через точку пересечения диагоналей параллелограмма и параллельна одной из его сторон, давайте обозначим эту сторону как AB, а точку пересечения диагоналей - как M.

2. Также обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как P, Q, R и S соответственно.

3. Рассмотрим треугольники AMB и CMB. Они имеют общую сторону MB и по две равные стороны AM и BM (поскольку AM и BM - медианы параллелограмма, то они равны).

4. Следовательно, по свойству треугольников AMB и CMB, эти треугольники равны.

5. Из равенства треугольников следует, что угол AMB равен углу CMB.

6. Теперь рассмотрим треугольники AMC и CMB. Они имеют общую сторону CM и по две равные стороны AM и BM.

7. Следовательно, по свойству треугольников AMC и CMB, эти треугольники также равны.

8. Из равенства треугольников следует, что угол AMC равен углу CMB.

9. Теперь, учитывая, что угол AMB равен углу CMB и угол AMC равен углу CMB, мы можем заключить, что углы AMB и AMC равны.

10. Таким образом, прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма и параллельная одной из его сторон, также проходит через середины противоположных сторон.