Question

Точки А и В лежат в плоскости α, а точки C и D – в плоскости β, при этом плоскости α и β параллельны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке K. а) Докажите, что ΔAKB ~ ΔCKD б) Найдите длину отрезка КС, если АВ = 3 см, CD = 7 см, АК = 4 см

Answer 1

Ответ: 9 ¹/₃ см.

Объяснение:    

     Из аксиомы о свойствах плоскости: через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость. Следовательно, AC и CD лежат в одной плоскости.

     Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

 Так как АВ|║CD, накрестлежащий углы при их пересечении секущими АС и BD равны. Два угла  треугольника  AKB равны двум углам треугольника CKD ⇒ ∆ AKB~ ∆ CKD по первому признаку.

      Из подобия следует отношение АВ:CD=AK:KC. ⇒

KC=CD•AK:AB=7•4:3=9 ¹/₃ см.

Answer 2

Ответ:

а) Докажем, что ΔAKB ~ ΔCKD. Для этого достаточно показать, что у этих треугольников равны два угла и одна сторона. Поскольку плоскости α и β параллельны, то углы между пересекающимися прямыми AC и BD равны. То есть, ∠AKB = ∠CKD и ∠ABK = ∠CDK. Кроме того, по условию, AB = CD. Значит, по критерию угол-сторона-угол, ΔAKB ~ ΔCKD.

б) Найдем длину отрезка КС. Поскольку треугольники подобны, то отношение соответствующих сторон равно отношению подобия. То есть, AB/CD = AK/CK. Подставим известные значения: 3/7 = 4/CK. Отсюда, CK = 28/3 см.