Question

Векторная алгебра. Дано: A(3,1,-1), B(2,-2,4), C(2,3,-1), D(1,1,2). Найти: 1) высоту параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD 2) угол BCD​

Answer 1

Даны вершины параллелепипеда A(3,1,-1), B(2,-2,4), C(2,3,-1), D(1,1,2).

Находим векторы AB, AC, AD.

АВ = (2-3; -2-1; 4-(-1)) = (-1; -3; 5).

АС = (2-3; 3-1; -1-(-1)) = (-1; 2; 0).

AD = (1-3; 1-1; 2-(-1)) = (-2; 0; 3).

Объём параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD), равен смешанному произведению этих векторов.

-1    -3     5|     -1      -3

-1     2     0|     -1       2

-2    0     3|     -2      0 = -6 +0 + 0 - 9 - 0 + 20 = 5 куб ед.

Теперь определяем площадь параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС.

i        j       k|      i        j

-1     -3      5|     -1      -3

-1      2     0|      -1       2 = 0i - 5j - 2k - 0j - 10i - 3k =  -10i - 5j - 5k.

Площадь равна половине модуля найденного векторного произведения.

S = (1/2)√((-10)² + (-5)² + (-5)²) = (1/2)√(100 + 25 + 25) = (1/2)√150 = 5√6/2 кв. ед.

Высота параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD. равна

H = V/S = 5/(5√6/2) = 2/√6 = √6/3 ≈ 0,816497.

Answer 2

1) Высоту параллелепипеда можно найти путем вычисления объема параллелепипеда и деления его на площадь основания. Для этого необходимы векторы ab, ac и ad.

a = (3, 1, -1) b = (2, -2, 4) c = (2, 3, -1) d = (1, 1, 2)

Вектор ab = b - a = (2, -2, 4) - (3, 1, -1) = (-1, -3, 5) Вектор ac = c - a = (2, 3, -1) - (3, 1, -1) = (-1, 2, 0) Вектор ad = d - a = (1, 1, 2) - (3, 1, -1) = (-2, 0, 3)

Теперь найдем объем параллелепипеда, который равен модулю смешанного произведения этих трех векторов:

V = |ab · (ac x ad)| = |(-1, -3, 5) · (-1, 2, 0) x (-2, 0, 3)| = |(-1, -3, 5) · (-6, 1, 6)| = |-1*(-6) + (-3)*1 + 5*6| = |6 - 3 + 30| = |33| = 33

Площадь основания параллелепипеда можно найти как модуль векторного произведения векторов ab и ac:

S = |ab x ac| = |(-1, -3, 5) x (-1, 2, 0)| = |(-3*0 - 5*2, 5*(-1) - (-1)*0, (-1)*2 - (-3)*(-1))| = |(-10, -5, 1)| = sqrt((-10)^2 + (-5)^2 + 1^2) = sqrt(100 + 25 + 1) = sqrt(126) = 3*sqrt(14)

Теперь, высоту параллелепипеда можно вычислить:

h = V / S = 33 / (3*sqrt(14)) = 11 / sqrt(14)

Ответ: высота параллелепипеда, построенного на векторах ab, ac и ad, равна 11 / sqrt(14).

2) Чтобы найти угол BCD, нам необходимо найти векторы bc и bd, и затем использовать формулу для нахождения угла между векторами.

Вектор bc = c - b = (2, 3, -1) - (2, -2, 4) = (0, 5, -5) Вектор bd = d - b = (1, 1, 2) - (2, -2, 4) = (-1, 3, -2)

Угол между векторами bc и bd можно найти с помощью формулы:

cos(угол BCD) = (bc · bd) / (|bc| * |bd|) где · обозначает скалярное произведение векторов, |bc| и |bd| - их длины.

(bc · bd) = (0, 5, -5) · (-1, 3, -2) = 0*(-1) + 5*3 + (-5)*(-2) = 0 + 15 + 10 = 25 |bc| = sqrt(0^2 + 5^2 + (-5)^2) = sqrt(0 + 25 + 25) = sqrt(50) = 5*sqrt(2) |bd| = sqrt((-1)^2 + 3^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 9 + 4) = sqrt(14)

Теперь подставим значения и вычислим угол BCD:

cos(угол BCD) = 25 / (5*sqrt(2) * sqrt(14)) = 5 / (sqrt(2) * sqrt(14)) = (5 / sqrt(2)) / sqrt(14) = (5 / sqrt(2)) * (1 / sqrt(14)) = 5 / (sqrt(2) * sqrt(14)) = 5 / sqrt(28) = 5 / (2 * sqrt(7)) = (5/2) * (1 / sqrt(7)) = (5/2) / sqrt(7) = (5/2) * (1 / sqrt(7)) = (5/2) / sqrt(7) = (5/2) / (sqrt(7)/1) = (5/2) * (1 / sqrt(7))

Угол BCD = arccos(cos(угол BCD)) = arccos(5/2 * (1 / sqrt(7))) = arccos(5 / (2*sqrt(7)))

Ответ: угол BCD равен arccos(5 / (2*sqrt(7))).