Question

Найт площади паралелограма постороеного на векторах а равно минус2i минус 6j и в равно 4i плюс 8 j​

Answer 1

Найти площадь параллелограмма ,  построенного на векторах а=-2i - 6j и b =4i+8 j​

Объяснение:

1) Координаты вектора  $\vec {a}$ (-2;-6) , длина |$\vec {a}$|=√((-2)²+(-6)²)=√40 ;

2) Координаты вектора  $\vec {b}$ (4 ; 8) , длина |$\vec {b}$|=√(4²+8²)=√80 ;

3) S(параллелограмма)=a*b*sin($\vec {a};\vec {b}$). Длины отрезков a,b  равны длинам векторов $\vec {a},\vec {b}$.

4) Найдем угол между векторами  $\vec {a}*\vec {b}$=$|\vec {a}| *|\vec {b}|*cos(\vec {a};\vec {b})$,

$\vec {a}*\vec {b}=-2*4-6*8=-56$ , $cos(\vec {a};\vec {b})= \frac{-56}{\sqrt{40} *\sqrt{80} } =\frac{-56}{40\sqrt{2} } =\frac{-7\sqrt{2} }{10}$ .

По основному тригонометрическому тождеству найдем sin($\vec {a};\vec {b}$).

$cos^{2} \alpha+sin^{2} \alpha =1\\(\frac{-7\sqrt{2} }{10})^{2} +sin^{2} \alpha =1\\\\sin^{2} \alpha =1-\frac{98}{100} => sin \alpha =\sqrt{\frac{2}{100} } , sin \alpha =\frac{\sqrt{2} }{10}$

5) S(параллелограмма)=√40*√80*$\frac{\sqrt{2} }{10}$=$\frac{40*\sqrt{2}*\sqrt{2} }{10} =8$ (см²)

Answer 2

Для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), используется следующая формула:

\[ \text{Площадь} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \sin(\theta) \]

где \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) - длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) соответственно, а \( \theta \) - угол между векторами.

Длины векторов можно найти по формуле:

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \]

Теперь, давайте найдем длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

Для вектора \( \mathbf{a} = -2i - 6j \): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Для вектора \( \mathbf{b} = 4i + 8j \): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

Теперь, найдем синус угла \( \theta \). Используем скалярное произведение векторов:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]

\[ (-2i - 6j) \cdot (4i + 8j) = (2\sqrt{10}) \cdot (4\sqrt{5}) \cdot \cos(\theta) \]

\[ (-2 \cdot 4) + (-6 \cdot 8) = 8\sqrt{50} \cdot \cos(\theta) \]

\[ -8 - 48 = 8\sqrt{50} \cdot \cos(\theta) \]

\[ -56 = 8\sqrt{50} \cdot \cos(\theta) \]

\[ \cos(\theta) = -\frac{56}{8\sqrt{50}} \]

\[ \sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} \]

\[ \sin(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{-56}{8\sqrt{50}}\right)^2} \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для площади параллелограмма:

\[ \text{Площадь} = (2\sqrt{10}) \cdot (4\sqrt{5}) \cdot \sin(\theta) \]

\[ \text{Площадь} = 2\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{5} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{-56}{8\sqrt{50}}\right)^2} \]

\[ \text{Площадь} = 8\sqrt{50} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{-56}{8\sqrt{50}}\right)^2} \]

\[ \text{Площадь} = 8\sqrt{50} \cdot \sqrt{1 - \frac{3136}{3200}} \]

\[ \text{Площадь} = 8\sqrt{50} \cdot \sqrt{\frac{64}{3200}} \]

\[ \text{Площадь} = 8\sqrt{50} \cdot \frac{8}{40} \]

\[ \text{Площадь} = \frac{64\sqrt{50}}{5} \]

Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), равна \( \frac{64\sqrt{50}}{5} \).