Question

4. Высота конуса равна 2√3 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, если она является правильным треугольником. 5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8√2 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.6. В конусе, высота которого равна радиусу основания R, проведена через его вершину плоскость, отсекающая от плоскости основания дугу 90°. Найдите площадь полученного сечения.(если можно, то с рисунками)

Answer 1

Объяснение:

4. Дано: Конус.

Высота ВО=2√3 см

ΔАВС - равносторонний.

Найти: S (ΔАВС)

Решение:

Пусть АВ = ВС = АС = а

В равнобедренном треугольнике высота является медианой.

⇒ $\displaystyle AO=OC=\frac{a}{2}$

Рассмотрим ΔАВО - прямоугольный.

По теореме Пифагора :

$\displaystyle OB^2=AB^2-AO^2\\\\12=a^2-\frac{a^2}{4}\\\\3a^2=48\\a^2=16\\a=4$

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

$\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}AB*BO=\frac{1}{2}*4*2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\;_{(CM^2)}$

5. Дано: Цилиндр.

МКРТ - осевое сечение.

МР = 8√2 дм - диагональ.

∠РМТ = 45°

Найти: Sполн.

Решение:

Осевое сечение цилиндра - прямоугольник.

Рассмотрим ΔМРТ - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠МРТ = 90° - 45° = 45°

Если углы в треугольнике при основании равны, то треугольник равнобедренный.

⇒ ΔМРТ - равнобедренный.

Пусть МТ = ТР = а.

По теореме Пифагора:

$MT^2+PT^2=MP^2\\2a^2=128\\a^2=64\\a=8$

Площадь полной поверхности цилиндра:

$S_{poln}=2\pi R(h+R)$, где R-радиус основания, h - высота цилиндра.

$S_{poln}=2\pi *OT(TP+OT)\\\\OT=MT:2=8:2=4\;_{(DM)}\\\\S_{poln}=2\pi *4(8+4)=96\pi \;_{(DM^2)}$

6. Дано: Конус.

h=R

∪ AC = 90°

Найти : S (ΔABC)

Решение:

Рассмотрим ΔАОС.

АО = ОС = R

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

⇒ ΔАОС - прямоугольный, равнобедренный.

По теореме Пифагора:

$AC^2=AO^2+CO^2\\AC^2 = 2R^2\\AC=R\sqrt{2}$

OH - высота ΔАОС.

В равнобедренном треугольнике высота является медианой.

⇒ $\displaystyle AH = HC = \frac{R\sqrt{2} }{2}$

Рассмотрим ΔНОС - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$\displaystyle OH^2=OC^2-HC^2\\\\OH^2=R^2-\frac{R^2}{2}= \frac{R^2}{2}$

Рассмотрим ΔНОВ - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$\displaystyle HB^2=OH^2+OB^2\\\\HB^2=\frac{R^2}{2}+R^2=\frac{3R^2}{2}\\\\HB=\frac{R\sqrt{3} }{\sqrt{2} }$

Площадь ΔABC

$\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}*AC*HB\\\\S_{ABC}=\frac{1}{2} R\sqrt{2}*\frac{R\sqrt{3} }{\sqrt{2} } =\frac{R^2\sqrt{3} }{2}$

Answer 2

Объяснение:

4

Сторона тр-ка а=(2×h×корень3) /3

a=(2×2×корень3×корень3) /3=4 см

d=a=4 cм

S=d×h/2

S=(4×2корень3)/2=4корень3

5

b=8корень2

Socн=пи×r^2

r=d/2

cos45=d/b

d=b×cos45=8корень2 ×(корень2 /2)=

=4×2=8 дм

r=8/2=4 дм

Sосн=nи×4^2=16×пи (дм^2)

Sбок=2×пи×R×h

h=d=8 дм, т.,, к угол=45 градусов, тр-к равнобедренный

Sбок= 2×пи×4×8=64×пи(дм^2)

Sполн=2Sосн+Sбок=2×16×пи + 64×пи=

=32×пи+64×пи=96×пи(дм^2)

6

Тр-к АВС:

По теореме Пифагора :

АС=корень (R^2+R^2)=корень (2R^2)=

=Rкорень2

Тр-к АОВ:

По теореме Пифагора :

АВ=корень (R^2+R^2)=Rкорень2

Тр-к ВОС:

По теореме Пифагора :

ВС=корень (R^2+R^2)=Rкорень2

S(АВС) =(a^2×корень3) /4

а=АВ=АС=ВС

S(АВС) =((R×корень2)^2×корень3) /4=

=(2R^2×корень3) /4=(R^2×корень3) /2

Answer 3

Давайте решим поставленные задачи по порядку.

Задача 4:

Дано, что высота конуса равна \(2\sqrt{3}\) см. Известно, что осевое сечение является правильным треугольником. Пусть сторона этого треугольника равна \(a\). Так как треугольник правильный, то его высота равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\).

Площадь осевого сечения конуса можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

Так как основание - правильный треугольник, его площадь можно выразить через сторону \(a\):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \]

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \]

Теперь подставим значение высоты конуса \(2\sqrt{3}\):

\[ 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \]

Решив это уравнение, найдем значение \(a\), затем подставим его в формулу для площади осевого сечения.

Задача 5:

Дано, что диагональ осевого сечения цилиндра равна \(8\sqrt{2}\) дм, и угол между диагональю и плоскостью основания равен 45°.

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты осевого сечения:

\[ h = \sqrt{(\text{диагональ}/2)^2 - (\text{радиус})^2} \]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \pi \cdot \text{диаметр} \cdot h \]

Также нужно найти площадь основания цилиндра:

\[ S_{\text{осн}} = \pi \cdot \text{радиус}^2 \]

Итак, полная площадь поверхности цилиндра:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} \]

Задача 6:

В конусе, высота которого равна радиусу основания \(R\), проведена плоскость через его вершину, отсекающая дугу 90° от плоскости основания. Обозначим радиус конуса как \(R\), а сторону полученного прямоугольного треугольника как \(a\).

Так как дуга составляет 90°, то сторона \(a\) равна радиусу \(R\). Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \]

\[ S = \frac{1}{2} R^2 \]

Таким образом, мы решили поставленные задачи. Если у вас есть возможность предоставить рисунки, я могу также помочь визуализировать решения.