Question

Точка H - ортоцентр трикутника АВС. Пряма АН перетинае описане коло трикутника АВС у точци А1. Доведить, що пряма ВС дилить видризок НА1 навпил.

Answer 1

Давно не помню геометрии, и не помню, чтобы мы изучали это свойство, но оно есть: https://www.mccme.ru/circles/oim/mmks/works2015/noelle1.pdf

За властивістю ортоцентра, точка, що симетрична ортоцентру відносно будь-якої сторони, лежить на описаному колі, тоді, ВС ділить відрізок НА1 навпіл

В теории можешь написать нечто подобное, но я не знаю, проходили вы это или нет. Ежели нет, поправьте в комментариях, заранее приношу мои извинения

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами ортоцентра и описанной окружности треугольника.

Во-первых, ортоцентр H – точка пересечения высот треугольника АВС. Высота, проведенная из вершины А, перпендикулярна стороне ВС. Значит, точка пересечения этой высоты с описанной окружностью треугольника АВС (точка А1) лежит на дуге ВС, не содержащей точку А. Аналогично, точка пересечения высоты, проведенной из вершины С, с описанной окружностью (точка С1) лежит на дуге АВ, не содержащей точку С.

Во-вторых, опишем окружность с центром в точке H и радиусом HA. Так как точки A и А1 лежат на этой окружности, то угол НА1А равен 90 градусов (так как точка А1 лежит на дуге ВС, не содержащей точку А).

Теперь рассмотрим прямую ВС. Она пересекает окружность в точках В и С. Проведем прямую, проходящую через точки Н и А1, и пересекающую прямую ВС в точке М.

Так как угол НА1А равен 90 градусов, то треугольник НА1А прямоугольный. Также, так как прямая ВС пересекает этот треугольник, то точка М – середина гипотенузы треугольника НА1А.

Таким образом, прямая ВС действительно делит отрезок НА1 напополам, так как точка М является его серединой.