Question

Бісиктриса кутів AMP і ВМР перетинають пряму СD у точках F i E. Доведіть, що коли МР = РЕ, то FP= PE СРОЧНО!!!❗❗❗

Answer 1

Объяснение:

мннмспапчеаанпнпгмгишгресуяяукчснмн

Answer 2

Задача стосується властивостей бісектриси та відомостей про перетин прямих. Давайте розглянемо деталі.

Позначимо:

- \( \angle AMP \) та \( \angle VMP \) - кути, які бісектриси зустрічають у точці \( M \). - \( CD \) - пряма, яка перетинається бісектрисами у точках \( F \) та \( E \). - \( FP \) та \( PE \) - відстані від точки \( P \) до прямих \( AC \) і \( BC \).

Припустимо, що \( \angle VMP = \angle AMP \). Тоді, за властивостями бісектрис, \( MP \) є бісектрисою кута \( AMC \) та \( BMP \).

За трикутниковою теоремою у бісектрисному трикутнику ми маємо:

\[ \frac{AM}{BM} = \frac{AP}{BP} \]

Але, ми також знаємо, що \( \angle VMP = \angle AMP \), отже, трикутники \( AMP \) і \( BMP \) подібні.

Таким чином, ми маємо:

\[ \frac{AM}{BM} = \frac{AP}{BP} = \frac{MP}{MP} \]

Звідси випливає, що \( AM = BM \) і \( AP = BP \).

Оскільки \( AM = BM \), точка \( M \) лежить на серединному перпендикулярі \( CD \), тобто \( CM = DM \).

Тепер розглянемо трикутник \( CPE \):

\[ CP = DP \]

Оскільки \( CM = DM \), то \( CP = DP = CM = DM \).

Тепер, з рівності трикутників \( CFP \) і \( DEP \), ми можемо сказати, що:

\[ FP = EP \]

Отже, коли \( MP = MP \) (відомо з подібності трикутників \( AMP \) і \( BMP \)), а також \( FP = EP \), то \( FP + MP = EP + MP \), що еквівалентно \( FP = PE \).

Отже, доведено, що коли \( \angle VMP = \angle AMP \), то \( FP = PE \).