Question

Прямая, проходящая через середины M и N диагоналей четырёхугольника ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках X и Y соответственно и образует со сторонами четырёхугольника углы ∠BXM = 50° и ∠CYN = 80°. Найдите MN, если BC = 7, CD = 10

Answer 1

Ответ:

5 ед.

Объяснение:

Дано: ABCD - четырехугольник;

АС и ВD - диагонали.

АМ = МС; BN = ND;

∠BXM = 50° ; ∠CYN = 80°;

BC = 7, CD = 10

Найти: MN.

Решение:

Отметим точку Р - середину отрезка ВС и соединим ее с точками М и N.

1. Рассмотрим ΔBCD.

BP = PC (построение)

BN = ND (условие)

⇒ NP - средняя линия ΔBCD.

• Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

⇒ NP || CD;  

$\displaystyle NP =\frac{1}{2} CD$ .

NP = 10 : 2 = 5

2. Рассмотрим ΔАВС.

BP = PC (построение)

АМ = МС (условие)

⇒ МР - средняя линия ΔBCD.

МР || АВ.

3. Рассмотрим ΔМРN.

∠1 = ∠ВХМ =50° (соответственные при АВ || МР и секущей ХY)

∠2 = ∠CYN = 80° (соответственные при NP || CD и секущей ХY)

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 = 50°.

• Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.

⇒ ΔМРN - равнобедренный.

МN = NP = 5.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами четырёхугольника и прямых, проходящих через середины его диагоналей.

1. Обозначим середины диагоналей как M и N, а точки пересечения прямой с сторонами как X и Y, как указано в условии.

2. Поскольку M и N - середины диагоналей, отрезки MX и NY равны между собой и равны половине длин диагоналей AC и BD соответственно.

3. Обозначим длины диагоналей AC и BD как 2a и 2b соответственно.

4. Теперь у нас есть равенства: \(MX = NY = a\) и \(MY = NX = b\).

5. Заметим, что треугольник BXM и треугольник CYN подобны треугольнику ABC, так как соответствующие углы равны (по условию).

6. Из подобия треугольников мы можем написать отношения сторон:

\(\frac{BX}{CY} = \frac{BM}{CN} = \frac{MX}{NY} = \frac{a}{b}\).

7. Из условия задачи у нас есть значения углов: \(\angle BXM = 50^\circ\) и \(\angle CYN = 80^\circ\). Из подобия треугольников мы также знаем, что \(\angle BXM = \angle CYN\).

8. Таким образом, у нас есть уравнение:

\(\frac{BX}{CY} = \frac{a}{b} = \tan(50^\circ) = 1.1917536\) (приблизительно).

9. Теперь мы можем выразить отношение a/b.

10. Поскольку длина BC равна 7, а длина CD равна 10, мы можем выразить длину BD через a и b: \(2b = 10 \implies b = 5\).

11. Теперь мы можем выразить длину AC через a: \(2a = BC + CD = 7 + 10 = 17 \implies a = \frac{17}{2} = 8.5\).

12. Теперь у нас есть значения a и b, и мы можем выразить длину MN: \(MN = 2a = 2 \times 8.5 = 17\).

Таким образом, длина MN равна 17.