Question

Доведіть, що сума кутів трапеції, прилеглих до її бічної сторони, дорівнює 180°​

Answer 1

Нехай нам дана трапеція ABCD із основами BC і AD.

BC || AD, AB - січна, тому сума кутів трапеції, прилеглих до її бічної сторони AB дорівнює 180°​.

BC || AD, CD - січна, тому сума кутів трапеції, прилеглих до її бічної сторони CD дорівнює 180°​.

Отже, сума кутів трапеції, прилеглих до її бічної сторони, дорівнює 180°​.

Answer 2

Для доведення, що сума кутів трапеції, прилеглих до її бічної сторони, дорівнює 180°, ми можемо використати зовнішню суму кутів трапеції.

Отже, давайте розглянемо трапецію ABCD, де AB і CD - паралельні бічні сторони, а BC і DA - основи. Нехай E і F будуть точками перетину продовжень бічних сторін з продовженнями протилежних основ.

Оскільки BC || DA, то кути BCD і ADE є зовнішніми кутами трапеції. Зовнішня сума цих кутів дорівнює 180° (зовнішня сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360°, а отже сума зовнішніх кутів дорівнює 360°).

Ми також можемо помітити, що кут BCD є сумою внутрішнього кута B і зовнішнього кута ADE:

BCD = B + ADE

Аналогічно, кут ADE є сумою внутрішнього кута C і зовнішнього кута BCD:

ADE = C + BCD

Підставимо значення виразів ADE і BCD в рівняннях вище:

BCD = B + A + C

ADE = C + (B + A + C)

Отже, сума внутрішніх кутів BCD і ADE дорівнює:

BCD + ADE = (B + A + C) + (C + B + A + C) = 2A + 2B + 2C

Оскільки сума внутрішніх кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360°, то:

2A + 2B + 2C = 360°

Розділимо обидві частини на 2:

A + B + C = 180°

Це означає, що сума кутів трапеції, прилеглих до її бічної сторони, дорівнює 180°.