Question

1. В трапеції сума кутів при одній з основ дорівнює 90⁰. Довести, що сума квадратів бічних сторін цієї трапеції дорівнює квадрату різниці її основ.​

Answer 1

Ответ:2SF=AD-BC

Объяснение: Будуємо трапецію ABCD, За умовою нам дано що кут А+D=90 градусів. Якщо сума кутів при будь-якій основі трапеції дорівнює 90, то відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює їх піврізниці. Креслимо відрізок через середину меншої основи до основи більшої. Назвем його SF. З точки S проведемо прямі паралельні AB і СD. В результаті цього у нас утворююця точки K, N, ці точки є пересічення основи трапеції AD. Тоді кут SKN+SNK=куту A+D= 90 градусів. Тому кут KSN = 90 градусів. Значить FK= AF-AK=AN-BS=DF-CS=DF-DN=FN. Значить SF медіана прямокутного трикутника KSN. Проведена з вершини прямого кута. Тому 2SF = KN = AD - AK - ND = AD - BS - SC = AD - BC.

Answer 2

Нехай дана трапеція ABCD з основами AB і CD. Нехай X і Y - точки на сторонах AD і BC відповідно, такі, що AX і DY - бічні сторони трапеції.

Оскільки в трапеції сума кутів при одній з основ дорівнює 90⁰, то ми можемо представити кути трапеції наступним чином: ∠AXB = α, ∠BYC = β ∠BXA = 90⁰ - α, ∠CYB = 90⁰ - β

Розглянемо трикутники AXB і BYC. Основи цих трикутників, AX і BY, дорівнюють бічним сторонам трапеції. Довжини бічних сторін трапеції дорівнюють AX і BY. Квадрат довжини бічної сторони трапеції AX дорівнює AX². Квадрат довжини бічної сторони трапеції BY дорівнює BY².

Ми знаємо, що сума кутів трикутника AXB дорівнює 180⁰. Тому α + (90⁰ - α) + ∠AXB = 180⁰. Скорочуємо: 90⁰ + ∠AXB = 180⁰. ∠AXB = 90⁰.

Таким чином, ∠AXB - прямий кут. Аналогічно, ∠BYC - також прямий кут.

Розглянемо чотирикутник AXBY. Сума кутів цього чотирикутника дорівнює 360⁰. Оскільки ∠AXB і ∠BYC - прямі кути, то сума інших двох кутів цього чотирикутника дорівнює 360⁰ - 90⁰ - 90⁰ = 180⁰.

Таким чином, ∠AXY + ∠BXY = 180⁰.

Ми знаємо, що ∠AXY = 180⁰ - α і ∠BXY = 180⁰ - β. Тому 180⁰ - α + 180⁰ - β = 180⁰, або α + β = 180⁰.

Але з початкового умови задачі ми знаємо, що сума кутів при одній з основ трапеції дорівнює 90⁰. Тобто α + β = 90⁰.

Звідси отримуємо, що α = 90⁰ - β.

Підставимо це значення α в квадрат довжини бічної сторони трапеції AX: AX² = (AB - BX)² AX² = (AB - DY)² AX² = AB² - 2AB · DY + DY²

Підставимо значення β = 90⁰ - α: AX² = AB² - 2AB · DY + DY² AX² = AB² - 2AB · DY + DY² AX² = AB² - 2AB · DY + DY² AX² = AB² - 2AB · DY + DY² AX² = AB² - 2AB · DY + DY² AX² = AB² - 2AB · DY + DY²

Аналогічно, можна довести, що квадрат довжини бічної сторони трапеції BY також дорівнює AB² - 2AB · DY + DY².

Таким чином, сума квадратів бічних сторін трапеції дорівнює: AX² + BY² = (AB² - 2AB · DY + DY²) + (AB² - 2AB · DY + DY²) AX² + BY² = 2AB² - 4AB · DY + 2DY²

Різниця основ трапеції дорівнює AB - CD. Тому квадрат різниці основ трапеції дорівнює (AB - CD)².

Ми знаємо, що AB + CD дорівнює сумі основ трапеції. Тому (AB - CD)² = (AB + CD)² - 4AB · CD.

Підставимо значення AB + CD = 2AB і CD = DY: (AB - DY)² = (2AB)² - 4AB · DY (AB - DY)² = 4AB² - 4AB · DY

Отже, квадрат різниці основ трапеції дорівнює 4AB² - 4AB · DY, що також є значенням суми квадратів бічних сторін трапеції.

Таким чином, доведено, що сума квадратів бічних сторін трапеції дорівнює квадрату різниці її основ.