Question

найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 12 см и гипотенузой 20 см вокруг большего катета

Answer 1

Ответ:

768π см³

Объяснение:

∆АОВ- прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора

АО=√(АВ²-ОВ²)=√(20²-12²)=√(400-144)=

=√256=16см больший катет.

Вращение вокруг катета АО. Фигура конус ОВ- радиус; АО- высота конуса.

Sосн=πR²=π*OB²=12²π=144π см².

V=1/3*Sосн*h=1/3*144π*16=768π см³

Answer 2

Чтобы найти объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, мы можем использовать метод вращения вокруг оси. Если вращать прямоугольный треугольник вокруг большего катета (одного из его катетов), то получится усеченный конус.

Дано: Больший катет (r) = 12 см, Гипотенуза (l) = 20 см.

Объем усеченного конуса можно найти по следующей формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) \]

где: - \( R \) - радиус большего основания (гипотенуза), - \( r \) - радиус меньшего основания (больший катет), - \( h \) - высота усеченного конуса.

Радиус большего основания \( R \) равен половине гипотенузы:

\[ R = \frac{l}{2} \]

Радиус меньшего основания \( r \) равен длине катета:

\[ r = 12 \]

Высота усеченного конуса \( h \) равна второму катету:

\[ h = \sqrt{l^2 - r^2} \]

Подставим все значения в формулу и решим:

\[ R = \frac{20}{2} = 10 \]

\[ h = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 16 \times (10^2 + 12^2 + 10 \times 12) \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 16 \times (100 + 144 + 120) \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 16 \times 364 \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 5824 \]

\[ V \approx 6144 \pi \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета, составляет приблизительно \(6144 \pi \, \text{см}^3\).