Question

Основание пирамиды — ромб с острым углом в 60 . Высота пирамиды равна 3, а все двугранные углы при основании пирамиды 30 . Вычислите: a) высоту боковой грани пирамиды; b) сторону основания пирамиды; c) площадь боковой поверхности пирамиды

Answer 1

Ответ:

a) высота боковой грани пирамиды - 6

б) сторона основания пирамиды - 12

c) площадь боковой поверхности пирамиды - 144

Объяснение:

Проведём перпендикуляр ОМ к стороне ромба ДС.

SO⊥OM ( SO - высота ромба, SO⊥(АСД), ОМ ∈(АСД) ⇒ SO⊥ОМ), ОМ⊥ДС ⇒ по "теореме о трёх перпендикулярах"  SМ⊥ДС.

SМ - высотa боковой грани пирамиды

∠SМД - линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

∠SМД = 30° - по условию

а) Рассмотрим ΔSОМ(∠О=90°)

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. ⇒ SM = 2*SO = 2*3= 6 - высота боковой грани пирамиды

ОМ = SO / tg 30° = $3\sqrt{3}$

b) Рассмотрим ΔCОМ(∠М=90°).

Т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ∠ОСМ=∠ВСО=30°, ОМ - катет лежащий против угла в 30° ⇒

гипотенуза ОС=2*ОМ = $6\sqrt{3}$

 Рассмотрим ΔCОВ(∠О=90°).

ВС = ОС/ cos 30° = $\frac{6\sqrt{3}*2 }{\sqrt{3} }$ = 12 - Сторона основания пирамиды(все стороны ромба равны)

с) Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

Sб = 4 * S (ΔSDC)

S (ΔSDC) = $\frac{1}{2} *SM*DC = \frac{1}{2} *6 * 12=36$

Sб = 4 * 36 = 144

Answer 2

Решение:

Дано: - Основание пирамиды - ромб с острым углом в 60 градусов. - Высота пирамиды равна 3 единицам. - Все двугранные углы при основании пирамиды равны 30 градусам.

a) Высота боковой грани пирамиды

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

Поскольку у нас ромб с острым углом в 60 градусов, то сможем разделить его на два равносторонних треугольника, в которых углы составляют 30, 60 и 90 градусов. Высота пирамиды является высотой одного из таких треугольников.

Пусть сторона ромба равна "s". Тогда, по теореме Пифагора, высота треугольника будет равна:

h = s * sqrt(3) / 2

Из условия задачи, высота пирамиды равна 3, поэтому:

3 = s * sqrt(3) / 2

Решим это уравнение относительно "s":

s = 3 * 2 / sqrt(3) = 6 / sqrt(3) = 2 * sqrt(3)

Таким образом, высота боковой грани пирамиды равна 2 * sqrt(3) единицам.

b) Сторона основания пирамиды

Поскольку у нас ромб с острым углом в 60 градусов, то сторона основания пирамиды будет равна стороне ромба.

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 2 * sqrt(3) единицам.

c) Площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды можно вычислить, зная сторону основания и высоту боковой грани.

Формула для вычисления площади боковой поверхности пирамиды:

S = (периметр основания * h) / 2

Периметр основания ромба равен:

P = 4 * s = 4 * 2 * sqrt(3) = 8 * sqrt(3)

Подставляем значения в формулу:

S = (8 * sqrt(3) * 2 * sqrt(3)) / 2 = 12 * sqrt(3)

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 12 * sqrt(3) квадратных единиц.