Question

4. У трикутнику АВС висота АН завдовжки 12 см проведена до сторони ВС і відтинає на ній відрізок ВН= 9 см. Знайдіть відстань від точки Н до сторони АВ завдовжки 15 см.​

Answer 1

Ответ:

KH = 7,2 см

Объяснение:

Дано: AH =  12 см, BC = 9 см, AB = 15 см; AH, KH - висоти

Знайти: KH - ?

Розв'язання: Розглянемо трикутник ΔABH. Так як за умовою AH - висота, то трикутник ΔABH - прямокутний з гіпотенузою AB. За теоремою Піфагора: $BH = \sqrt{AB^{2} - AH^{2}} = \sqrt{15^{2} - 9^{2}} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144}= 12$ см. За формулою площі: $\displaystyle \left \{ {{S_{зABC} = \dfrac{AH \cdot BH}{2} } \atop {S_{зABC} = \dfrac{KH \cdot AB}{2}}} \right \Longrightarrow \dfrac{AH \cdot BH}{2} = \dfrac{KH \cdot AB}{2}$

$\dfrac{AH \cdot BH}{2} = \dfrac{KH \cdot AB}{2} \bigg | \cdot 2$

$AH \cdot BH = KH \cdot AB|:AB$

$KH = \dfrac{AH \cdot BH}{AB} = \dfrac{12\cdot9}{15} = \dfrac{108}{15} = 7,2$ см.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо подібні трикутники. Позначимо довжину сторони \(AB\) як \(a\), сторони \(BC\) як \(b\), а сторони \(AC\) як \(c\).

Відомо, що висота \(AN\) трикутника \(ABC\) розділяє його на два подібних трикутники \(ABN\) і \(ACN\). Також, оскільки відрізок \(BN\) є частиною висоти \(AN\), ми можемо використовувати співвідношення сторін подібних трикутників.

За умовою маємо: - \(AN = 12\) см, - \(BN = 9\) см.

Також відомо, що сторона \(AB\) трикутника \(ABC\) має довжину \(15\) см.

Тепер, використовуючи співвідношення сторін подібних трикутників \(ABN\) і \(ABC\), ми можемо записати:

\[\frac{BN}{AN} = \frac{AB}{AC}\]

Підставимо відомі значення:

\[\frac{9}{12} = \frac{15}{AC}\]

Тепер розв'яжемо для \(AC\):

\[AC = \frac{15 \cdot 12}{9} = 20\]

Отже, довжина сторони \(AC\) трикутника \(ABC\) дорівнює \(20\) см.

Тепер визначимо відстань від точки \(N\) до сторони \(AB\). Ми можемо використовувати той самий принцип подібних трикутників.

\[\frac{NH}{BH} = \frac{AN}{AB}\]

Підставимо відомі значення:

\[\frac{NH}{9} = \frac{12}{15}\]

Розв'яжемо для \(NH\):

\[NH = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7.2\]

Отже, відстань від точки \(N\) до сторони \(AB\) дорівнює \(7.2\) см.