Question

В тетраэдре mnlk вектор mn (-1 0 8), вектор ml (0 -3 7), вектор mk (-6 4 0). найдите объем тетраэдра и длину высоты опущенной из вершины m на грань nlk

Answer 1

Даны векторы: MN (-1 0 8), ML (0 -3 7),  MK (-6 4 0).

Объём пирамиды (тетраэдра) равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов (MNxML)*MK.

Найдём это произведение с применением схемы Саррюса.

-1      0      8|       -1        0

0     -3      7|        0        -3

-6     4      0|       -6        4   = 0 +0 + 0 - 0 -(-28) - 144 = -116.

V = (1/6)*|-116| = 116/6 = 58/3.

Находим векторы в плоскости MNK как разность векторов.

LN = ML – MN = (0-(-1); -3-0; 7-8) = (1; -3; -1).

LK = ML – MK = ((0-(-6); -3-4; 7-0) = (6; -7;  7).

Площадь треугольника NLK равна половине модуля векторного произведения векторов LN и LK.

i      j      k|      i       j

1    -3    -1|     1      -3

6   -7      7|     6      -7 = -21i – 6j – 7k – 7j – 7i + 18k = -28i – 13j + 11k.

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-28)² + (-13)² + 11²) = √(784 + 169 + 121) = √1074.

Найдем площадь треугольника:

S =  (1/2) √1074  =  √1074/2  ≈  16,386.

Теперь можно найти высоту Н из вершины M на плоскость NLK по формуле:

H = 3V/S = (3*(58/3)/(√1074/2)  = 116/√1074 = 58√1074/537 ≈  3,54.

Answer 2

Для нахождения объема тетраэдра и длины высоты опущенной из вершины M на грань NLK, мы можем использовать формулы, основанные на векторных операциях.

Нахождение объема тетраэдра

Для нахождения объема тетраэдра, образованного векторами MN, ML и MK, мы можем использовать формулу, основанную на смешанном произведении векторов. Смешанное произведение векторов в трехмерном пространстве даёт объем параллелепипеда, образованного этими векторами. Так как тетраэдр - это половина параллелепипеда, то для нахождения объема тетраэдра мы можем использовать следующую формулу:

Объем тетраэдра = |(MN ⨯ ML) · MK| / 6

Где ⨯ обозначает векторное произведение, · обозначает скалярное произведение, а | | обозначает модуль вектора.

Давайте вычислим объем тетраэдра, используя данные векторы MN, ML и MK:

Вектор MN: (-1, 0, 8) Вектор ML: (0, -3, 7) Вектор MK: (-6, 4, 0)

Вычислим сначала векторное произведение MN ⨯ ML:

MN ⨯ ML = (-1, 0, 8) ⨯ (0, -3, 7)

Для вычисления векторного произведения, мы можем использовать следующую формулу:

MN ⨯ ML = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2)

Подставим значения:

MN ⨯ ML = (0*(-3) - 8*7, 8*0 - (-1)*7, -1*(-3) - 0*(-1)) = (-56, 7, 3)

Теперь, вычислим скалярное произведение (MN ⨯ ML) · MK:

(MN ⨯ ML) · MK = (-56, 7, 3) · (-6, 4, 0)

Для вычисления скалярного произведения, мы можем использовать следующую формулу:

(MN ⨯ ML) · MK = x1x2 + y1y2 + z1z2

Подставим значения:

(MN ⨯ ML) · MK = (-56)*(-6) + 7*4 + 3*0 = 336 + 28 + 0 = 364

Теперь, найдем модуль вектора (MN ⨯ ML):

|(MN ⨯ ML)| = sqrt((-56)^2 + 7^2 + 3^2) = sqrt(3136 + 49 + 9) = sqrt(3194)

Теперь, подставим значения в формулу для нахождения объема:

Объем тетраэдра = |(MN ⨯ ML) · MK| / 6 = |364| / 6 = 364 / 6 = 60.67

Таким образом, объем тетраэдра, образованного векторами MN, ML и MK, составляет приблизительно 60.67.

Нахождение длины высоты

Чтобы найти длину высоты, опущенной из вершины M на грань NLK, мы можем использовать формулу для вычисления проекции вектора на другой вектор.

Для начала, найдем вектор, перпендикулярный плоскости NLK. Для этого мы можем взять векторное произведение векторов NL и NK.

Вектор NL: L - N = (0, -3, 7) - (-1, 0, 8) = (1, -3, -1) Вектор NK: K - N = (-6, 4, 0) - (-1, 0, 8) = (-5, 4, -8)

Вычислим векторное произведение NL ⨯ NK:

NL ⨯ NK = (1, -3, -1) ⨯ (-5, 4, -8)

Для вычисления векторного произведения, мы можем использовать ту же формулу:

NL ⨯ NK = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2)

Подставим значения:

NL ⨯ NK = (-3*(-8) - (-1)*4, (-1)*(-5) - 1*(-8), 1*4 - (-3)*(-5)) = (-20, 3, 19)

Теперь, чтобы найти длину высоты, мы можем использовать формулу для проекции вектора MK на вектор NL ⨯ NK. Формула для проекции вектора A на вектор B выглядит следующим образом:

Проекция вектора A на вектор B = (A · B) / |B|

Где · обозначает скалярное произведение, а |B| обозначает модуль вектора B.

Давайте вычислим проекцию вектора MK на вектор NL ⨯ NK:

Проекция MK на NL ⨯ NK = (MK · (NL ⨯ NK)) / |NL ⨯ NK|

Для начала, найдем скалярное произведение MK · (NL ⨯ NK):

MK · (NL ⨯ NK) = (-6, 4, 0) · (-20, 3, 19)

MK · (NL ⨯ NK) = (-6)*(-20) + 4*3 + 0*19 = 120 - 12 + 0 = 108

Теперь, найдем модуль вектора NL ⨯ NK:

|(NL ⨯ NK)| = sqrt((-20)^2 + 3^2 + 19^2) = sqrt(400 + 9 + 361) = sqrt(770)

Теперь, подставим значения в формулу для нахождения проекции:

Проекция вектора MK на NL ⨯ NK = (MK · (NL ⨯ NK)) / |NL ⨯ NK| = 108 / sqrt(770) ≈ 3.88

Таким образом, длина высоты, опущенной из вершины M на грань NLK, составляет примерно 3.88.