Question

Окружность касается прямой, проведенной через точки A и B, в точке A. Длина отрезка AB равна 140 см., а наименьшее расстояние от точки B до точек окружности составляет 20 см. Найдите радиус окружности.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

   Проведем из т. В через центр О окружности прямую. Пересечением этой прямой с окружностью будут точки К и М.

   КМ = диаметр, ВК - наименьшее расстояние от т.В до точек окружности, ВМ - наибольшее расстояние.

     АВ – касательная, ВМ - секущая, – ее длина равна сумме длин диаметра окружности и  внешней части секущей:

     ВМ=МК+КВ=2r+20

   Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной. (Теорема).

ВМ•ВК = АВ²

(2r+20)•20=19600

40r=19600-400=19200 ⇒

r=19200:40=480 (см)

———

Вариант решения:

Радиус, проведенный в точку касания с прямой, перпендикулярен ей. Поэтому ∆ АОВ - прямоугольный.

АО=r; BO=r+20; AB=140  .

По т.Пифагора ВО^2-АО^2=АВ^2.

(r+20)²-r²=19600. Решив уравнение, получим r=480 (см)

Answer 2

Пусть радиус окружности равен R.

Так как окружность касается прямой в точке А, то отрезок AB является диаметром окружности. Значит, его длина равна 2R.

Из условия задачи известно, что длина отрезка AB равна 140 см. То есть 2R = 140 см.

Также из условия задачи известно, что наименьшее расстояние от точки B до точек окружности составляет 20 см. Это значит, что расстояние от точки B до центра окружности равно R - 20 см.

Итак, у нас есть два уравнения: 2R = 140 R - 20 = ?

Решим первое уравнение: 2R = 140 R = 140 / 2 R = 70

Подставим найденное значение R во второе уравнение: R - 20 = 70 - 20 R - 20 = 50

Ответ: радиус окружности равен 50 см.