Question

На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D такая, что AB=BD. Точка E на стороне BC такова, что ∠AEB=∠CED=69∘. Чему равен угол ABD?

Answer 1

Рассмотрим треугольник AED и его описанную окружность.

Серединный перпендикуляр к стороне AD делит дугу AD пополам.

Биссектриса внешнего угла при вершине E также делит дугу AD пополам.

(Сумма углов A и D упирается на дугу AD. Половина внешнего угла - полусумма углов A и D - опирается на половину дуги AD.)

То есть серединный перпендикуляр к AD и биссектриса внешнего угла E пересекаются в точке B на описанной окружности.

∠ABD=∠AED=180-69*2=42°

Answer 2

Поскольку AB=BD, то угол ABD является углом при основании равнобедренного треугольника ABD.

Из условия задачи известно, что углы AEB и CED равны 69°. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то углы ABE и DBE также равны 69°.

Теперь рассмотрим треугольник ABE. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол AEB равен 180° - 69° - 69° = 42°.

Таким образом, угол ABD равен половине угла AEB, то есть 42° / 2 = 21°.