Question

трикутник зі сторонами 3см 5см і 7см вписане в коло. знайдіть центральний кут, що відповідає вписаному куту, утвореному двома меншими сторонами трикутника​

Answer 1

AB=3, AC=5, BC=7

△ABC, теорема косинусов

BC^2 =AB^2 +AC^2 -2AB*AC*cosA

49 =9 +25 -30cosA => cosA= -1/2

∠A =arccos(-1/2) =120° (0°<A<180°)

Вписанный (∠BAC) и соответствующий центральный (∠BOC) углы опираются на одну дугу.

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

∠BOC =2∠BAC =120°*2 =240°

Answer 2

Щоб знайти центральний кут, який відповідає вписаному куту, утвореному двома меншими сторонами трикутника, нам слід скористатися властивістю того, що вписаний кут, утворений дотичними до кола на його діаметрі, є прямим кутом.

1. Знайдемо діаметр кола: Діаметр кола можна знайти, скориставшись властивістю вписаного чотирикутника, в якому діаметр є діагоналлю. Такий чотирикутник утворюється зі сторін трикутника та кола, вписаного в цей трикутник.

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 градусів. Таким чином, ми можемо скористатися рівністю:

\[ \text{Великий кут} + \text{Малий кут} = 180^\circ. \]

Великий кут у нашому випадку - це центральний кут, який ми шукаємо. Малий кут - це вписаний кут, утворений дотичними.

Для трикутника із сторонами 3 см, 5 см і 7 см, можна скористатися формулою півпериметра (де \(s\) - полупериметр): \[ s = \frac{a + b + c}{2}. \]

Знаходимо полупериметр:

\[ s = \frac{3 + 5 + 7}{2} = 7.5 \, \text{см}. \]

Тепер можна знайти площу трикутника за формулою Герона:

\[ S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}. \]

Після вирахування:

\[ S = \sqrt{7.5 \cdot (7.5 - 3) \cdot (7.5 - 5) \cdot (7.5 - 7)} = \sqrt{7.5 \cdot 4.5 \cdot 2.5 \cdot 0.5} \approx 6.73 \, \text{см}^2. \]

Тепер можна знайти радіус вписаного кола, використовуючи формулу:

\[ r = \frac{S}{s} = \frac{6.73}{7.5} \approx 0.897 \, \text{см}. \]

Отже, діаметр кола дорівнює \(2 \times 0.897 = 1.794 \, \text{см}\).

2. Знайдемо центральний кут:

Тепер, коли у нас є діаметр, можемо знайти центральний кут за формулою:

\[ \text{Центральний кут} = 2 \arcsin\left(\frac{a}{2r}\right), \]

де \(a\) - довжина сторони трикутника, \(r\) - радіус вписаного кола.

В нашому випадку:

\[ \text{Центральний кут} = 2 \arcsin\left(\frac{7}{2 \times 0.897}\right) \approx 2 \arcsin(3.91) \approx 91.52^\circ. \]

Отже, центральний кут, що відповідає вписаному куту, утвореному двома меншими сторонами трикутника, становить приблизно \(91.52^\circ\).