Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! Имеют ли общие точки шары, ограниченные сферами x^2+y^2+z^2=2x+4y-6z+11 и x^2+4x+y^2+z^2=6y+8z-4. Решение необходимо показать.

Answer 1

Имеют ли общие точки шары, ограниченные сферами

x²+y²+z²=2x+4y-6z+11 и x²+4x+y²+z²=6y+8z-4.

Объяснение:

1)Преобразуем уравнения сфер

a)  (x²-2х+1)-1+(y²-4у+4)-4+(z²+6z+9)-9=11

(x-1)²+(y-2)²+(z+3)²=25 ⇒ координаты цента А(1;2;-3) , r=5

b)  (x²+4x+4)-4+(y²-6у+9)-9+(z²-8z+16)-16=-4

(x+2)²+(y-3)²+(z-4)²=25 ⇒ координаты цента В(-2;3;4) , r=5

2 ) Найдем расстояние между центрами

АВ=√( (1+2)²+(2-3)²+(-3-4)² )=√(9+1+49)=√59.

Тк. расстояние между центрами меньше , чем d=5+5=10=√100 , то сферы пересекаются и  шары, ограниченные сферами , имеют общие точки.

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнения поверхностей и определим, имеют ли они общие точки.

Уравнение \(x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 4y - 6z + 11\) можно переписать в виде: \[x^2 - 2x + y^2 - 4y + z^2 + 6z = 11\]

Теперь давайте дополним это выражение, добавив и вычитая определенные константы, чтобы привести его к полному квадрату по каждой переменной: \[(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 + 6z + 9) = 11 + 1 + 4 + 9\]

Это можно упростить: \[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 25\]

Таким образом, уравнение представляет собой сферу с центром в точке (1, 2, -3) и радиусом \(r = 5\).

Теперь рассмотрим второе уравнение \(x^2 + 4x + y^2 + z^2 = 6y + 8z - 4\): \[x^2 + 4x + y^2 - 6y + z^2 - 8z = -4\]

Дополним выражение, чтобы получить полный квадрат: \[(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 - 8z + 16) = -4 + 4 + 9 + 16\]

Это упростится до: \[(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 25\]

Таким образом, и это уравнение представляет собой сферу с центром в точке (-2, 3, 4) и радиусом \(r = 5\).

Обе сферы имеют одинаковый радиус и, следовательно, пересекаются. Ответ: у уравнений есть общие точки.