Question

SABCD - правильная четырёхугольная пирамида, боковые ребра в 2 раза больше стороны основания, точки O и F - середины рёбер SB и SC соответственно. Вычислить косинус угла между BF и DO.

Answer 1

SABCD - правильная четырёхугольная пирамида, боковые ребра в 2 раза больше стороны основания, точки O и F - середины рёбер SB и SC соответственно. Вычислить косинус угла между BF и DO.

Эту задачу можно решить двумя способами: 1) векторным и 2) геометрическим.

1) Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, вершиной В в начало, ребром ВА по оси Ох, ребром ВС по оси Оу.

Примем длину ребра основания, равную а = 4 (для кратности между точками).

Длина бокового  ребра L = 2*4 = 8.

Высоту Н пирамиды определим как высоту равнобедренного треугольника, составленного боковыми рёбрами L и диагональю d основания. равной а√2 = 4√2.

H = √(L² - (d/2)²) = √(8² - (4√2/2)²) = √(64 – 8) = √56 = 2√14.

Определяем координаты точек.

B(0; 0; 0), F(1; 3; √14), вектор BF = (1; 3; √14),

модуль равен √(1+9+14) = √24.

D(4; 4; 0), O(1; 1; √14), вектор DO = (-3; -3; √14),

модуль равен √(9+9+14) = √32.

Находим косинус угла между этими векторами.

cos (BF_DO) = (1*(-3)+(3*(-3)+√14*√14)/(√24*√32) = 2/√(4*2*3*16*2) = 2/16√3 = 1/8√3 = √3/24.

Угол (BF_DO) = arccos(1/8√3) = 1,49856 радиан или 85,8614 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте разберемся с геометрией пирамиды SABCD.

У нас есть четырехугольная пирамида SABCD, где боковые ребра в два раза больше стороны основания. Пусть сторона основания равна "a", тогда боковые ребра SB и SC будут равны 2a.

Точки O и F являются серединами ребер SB и SC соответственно. Таким образом, мы можем представить векторы \(\vec{BF}\) и \(\vec{DO}\) в терминах векторов \(\vec{SB}\) и \(\vec{SC}\):

\(\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{SB}\)

\(\vec{DO} = \frac{1}{2}\vec{SC}\)

Теперь мы хотим вычислить косинус угла между векторами \(\vec{BF}\) и \(\vec{DO}\). Для этого используем формулу косинуса угла между векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{BF} \cdot \vec{DO}}{\|\vec{BF}\| \cdot \|\vec{DO}\|} \]

где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение, а \(\|\vec{BF}\|\) и \(\|\vec{DO}\|\) обозначают длины векторов.

Теперь подставим значения в формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{\frac{1}{2}\vec{SB} \cdot \frac{1}{2}\vec{SC}}{\frac{1}{2}\|\vec{SB}\| \cdot \frac{1}{2}\|\vec{SC}\|} \]

Мы знаем, что \(\|\vec{SB}\| = 2a\) и \(\|\vec{SC}\| = 2a\), поэтому:

\[ \cos(\theta) = \frac{\frac{1}{4}\vec{SB} \cdot \vec{SC}}{\frac{1}{4}(2a) \cdot \frac{1}{4}(2a)} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{SB} \cdot \vec{SC}}{a^2} \]

Теперь остается определить скалярное произведение векторов \(\vec{SB}\) и \(\vec{SC}\). Если у нас есть информация о геометрических свойствах пирамиды или углах между векторами, мы можем использовать ее для дальнейших вычислений. Например, если пирамида SABCD является прямой пирамидой, то можно воспользоваться свойствами подобных треугольников для нахождения соответствующих углов.

Надеюсь, эта информация поможет вам решить задачу! Если у вас есть дополнительные данные о пирамиде или ее свойствах, они могут быть полезны для точного решения.