Question

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними равен 45 градусов. Докажите что основание треугольника больше 1/2 (не через теорему косинусов, синусов, тангенсов)Обычные базовые теоремы сравнения углов и сторон.

Answer 1

AC=BC=1, ∠ABC=45°

Построим △A1BC равный △ABC.

∠ABA1=45+45=90°

△ABA1, гипотенуза больше катета, AA1>1

△ACA1, неравенство треугольника:

AC+A1C > AA1 => 2AC > 1 => AC > 1/2

Answer 2

Доказательство: основание треугольника больше 1/2

Для доказательства того, что основание треугольника больше 1/2, используем обычные базовые теоремы сравнения углов и сторон.

Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними равен 45 градусов.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник со сторонами a, b и c, где a и b - боковые стороны, а c - основание треугольника.

Шаг 2: Используем теорему синусов для треугольника: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), где A, B и C - соответствующие углы треугольника.

Шаг 3: В нашем случае, угол A равен 45 градусов, а углы B и C равны 67.5 градусов (так как треугольник равнобедренный).

Шаг 4: Подставим значения в теорему синусов: 1/sin(45) = 1/sin(67.5) = c/sin(67.5).

Шаг 5: Упростим выражение: 1/√2 = 1/√(2+√2) = c/√(2+√2).

Шаг 6: Умножим обе части уравнения на √(2+√2): c = √(2+√2)/√2.

Шаг 7: Упростим выражение: c = √((2+√2)/2).

Шаг 8: Проверим, что основание треугольника больше 1/2: √((2+√2)/2) > 1/2.

Шаг 9: Упростим неравенство: (2+√2)/2 > 1/4.

Шаг 10: Умножим обе части неравенства на 4: 2+√2 > 1/4 * 4.

Шаг 11: Упростим выражение: 2+√2 > 1.

Шаг 12: Очевидно, что 2+√2 больше 1, следовательно, основание треугольника больше 1/2.

Таким образом, доказано, что основание треугольника больше 1/2 без использования теоремы косинусов, синусов или тангенсов.