Question

Задано точки A (2:-3) B(4:1) C (-2:0) D (-4:-1) знайдіть косинус кутів між векторами AB і CD порівняйте цей кут із прямим кутом

Answer 1

Даны точки A (2:-3) B(4:1) C (-2:0) D (-4:-1).

Находим векторы и их модули.

АВ = B(4:1) - A (2:-3) = (2; 4),

|AB| = √2² + 4²) = √(4+16) = √20 = 2√5.

CD = D (-4:-1) - C (-2:0) = (-2; -1).

|CD| = √(-2)² + (-1)²) = √(4+1) = √5.

Теперь находим косинус угла между АВ и CD.

cos(AB_CD) = (2*(-2)+4*(-1)/(2√5*√5) = -8/10 = -4/5.

Угол равен arccos(-4/5) = 143,1301 градуса.

Это тупой угол, он больше прямого угла.

Answer 2

Щоб знайти косинус кута між векторами AB і CD, спочатку нам потрібно обчислити ці вектори. Вектор AB можна отримати, віднявши координати точки A від координат точки B:

AB = (4 - 2, 1 - (-3)) = (2, 4)

Аналогічно, вектор CD можна отримати, віднявши координати точки C від координат точки D:

CD = (-4 - (-2), -1 - 0) = (-2, -1)

Тепер, коли ми маємо вектори AB і CD, ми можемо використовувати формулу для обчислення косинуса кута між двома векторами:

cos(θ) = (AB · CD) / (||AB|| ||CD||)

де AB · CD представляє скалярний добуток векторів AB і CD, а ||AB|| і ||CD|| - довжини цих векторів.

Для обчислення скалярного добутку ми множимо відповідні координати векторів AB і CD і додаємо їх:

AB · CD = (2 * -2) + (4 * -1) = -4 - 4 = -8

Тепер ми повинні обчислити довжини векторів AB і CD. Довжина вектора може бути обчислена за допомогою формули:

||v|| = sqrt(vx^2 + vy^2)

де vx і vy - координати вектора.

Для вектора AB:

||AB|| = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2 * sqrt(5)

Для вектора CD:

||CD|| = sqrt((-2)^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5)

Тепер ми маємо всі необхідні значення, щоб обчислити косинус кута:

cos(θ) = (AB · CD) / (||AB|| ||CD||) = -8 / (2 * sqrt(5) * sqrt(5)) = -8 / (2 * 5) = -8 / 10 = -0.8

Таким чином, косинус кута між векторами AB і CD дорівнює -0.8.

Порівняння з прямим кутом

Прямий кут має косинус 0, оскільки вектори, які його утворюють, перпендикулярні один одному. Отже, косинус кута між векторами AB і CD, який дорівнює -0.8, не дорівнює 0. Тому цей кут не є прямим кутом.