Question

Дам 20 баллов. найди отношение площадей двух треугольников,если стороны одного равны 24см,42см,54см,а стороны другого треугольника относятся как 9:4:7,причём его большая сторона равна 108 см.чему равно отношение площадей треугольников?

Answer 1

Ответ:

4

Объяснение:

1 способ

Найдем площадь треугольника со сторонами 24 см, 42 см и 54 см по формуле Герона:

$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c) } ,$

$p=\dfrac{a+b+c}{2}$   - полупериметр ,    a,b,c - стороны треугольника.

$p=\dfrac{24+42+54}{2}=\dfrac{120}{2} =60 ;\\S= \sqrt{60(60-24)(60-42)(60-54) } =\sqrt{60\cdot 36\cdot 18\cdot 6} =6 \sqrt{60\cdot 3\cdot6\cdot6 } =\\=6\cdot6 \sqrt{180 } =36\sqrt{36\cdot5} =36\cdot6 \sqrt{5} =216\sqrt{5}$

Площадь первого треугольника равна 216 √5 см².

Найдем стороны другого треугольника . Если большая сторона равна 108 см и на нее приходится 9 частей, то найдем сколько см приходится на одну часть.

$108:9=12$ см.

Тогда две другие стороны будут равны

$12\cdot 4=48$ см

$12\cdot7 =84$ см.

Найдем площадь треугольника со сторонами 48 см, 84 см и 108 см.

$p=\dfrac{48+84+108 }{2}=\dfrac{240}{2} =120 ;\\S= \sqrt{120(120-48)(120-84)(120-108) } =\sqrt{120\cdot 72 \cdot 36\cdot 12} =36 \sqrt{120\cdot 2\cdot2\cdot6 } =\\=72 \cdot \sqrt{720 } =72\sqrt{36\cdot 4\cdot 5} =72\cdot12 \sqrt{5} =862 \sqrt{5}$

Тогда площади относятся

$\dfrac{S{_2}}{S{_1} } =\dfrac{864\sqrt{5} }{216\sqrt{5} } =4$

2 способ (более простой)

Стороны второго треугольника 48 см, 84 см и 108 см.

$\dfrac{48}{24} =\dfrac{84}{42} =\dfrac{108}{54 } =2$

Тогда  три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника и треугольника подобны по третьему признаку подобия треугольников . Коэффициент подобия k= 2.

Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате

$k^{2} =4$

Отношение площадей данных треугольников равно 4.

Answer 2

Finding the Ratio of the Areas of Two Triangles

To find the ratio of the areas of two triangles, we can use the fact that the ratio of the areas of two similar figures is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.

Given: - Triangle 1: sides are 24 cm, 42 cm, and 54 cm. - Triangle 2: sides are in the ratio 9:4:7, with the largest side being 108 cm.

Calculating the Ratio of Areas

First, let's find the area of each triangle using the Heron's formula, which states that the area of a triangle with sides a, b, and c is given by:

Area = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) where s is the semi-perimeter of the triangle, given by (a + b + c) / 2.

Let's calculate the areas of the two triangles using the given side lengths and ratios.

For Triangle 1: - Side lengths: 24 cm, 42 cm, and 54 cm.

For Triangle 2: - Side lengths: in the ratio 9:4:7, with the largest side being 108 cm.

Calculating the Area of Triangle 1

The semi-perimeter s of Triangle 1 is: s = (24 + 42 + 54) / 2 = 60

Using Heron's formula: Area of Triangle 1 = √(60(60-24)(60-42)(60-54))

Calculating the Area of Triangle 2

The semi-perimeter s of Triangle 2 is: s = (9x + 4x + 7x) / 2 = 10x where x is the common multiplier for the sides in the ratio.

Given that the largest side is 108 cm: 7x = 108 x = 108 / 7

The semi-perimeter s of Triangle 2 becomes: s = (9(108/7) + 4(108/7) + 7(108/7)) / 2 = 15(108/7)

Using Heron's formula: Area of Triangle 2 = √(15(108/7)(15(108/7)-9(108/7))(15(108/7)-4(108/7))(15(108/7)-7(108/7)))

Finding the Ratio of the Areas

Once the areas of both triangles are calculated, we can find the ratio of their areas by dividing the area of Triangle 1 by the area of Triangle 2.

Let's calculate the areas and find the ratio of the areas of the two triangles.