Question

М и N — середины сторон ВС и СD параллелограмма АВСD. докажите, что если DМ ┴ АС, то ВN : СD = 3:2.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Рассмотрим Δ ВСD, в котором BN и DM -медианы, т.к.  точки M, N-середины сторон ВС и СD параллелограмма АВСD.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины ⇒

BN ∩ DM=О, О∈ BN ⇒ ВО:ON=2:1, т.е. ON=1/3 ·BN ⇒ BN:ON=3:1

2) Рассмотрим ΔCOD-прямоугольный, т.к. DМ ⊥ АС,⇒ON=1/2 ·CD Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, т.е. точка N-центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника COD ⇒NC=ND=NO=R  

ON=1/2 ·CD

3)  так как BN:ON=3:1, то BN:CD = BN:(2ON)= 3:2 , ч.т.д

Answer 2

Для доказательства того, что если $DM \perp AC$, то $VN:CD = 3:2$, мы можем использовать свойства параллелограмма и прямоугольника.

Параллелограмм ABCD

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны и равны. Поэтому, $AB \parallel CD$ и $AB = CD$.

Прямоугольник DMAC

Если $DM \perp AC$, то $DM$ является высотой прямоугольника $DMAC$. Из свойств прямоугольника следует, что высота делит прямоугольник на две равные части. То есть, $DM = AC/2$.

Доказательство

Мы знаем, что $AB = CD$ и $DM = AC/2$. Используя эти равенства, мы можем записать:

$DM/AB = AC/2/CD$

$DM/AB = AC/CD/2$

$DM/AB = AC/CD \times 1/2$

Так как стороны $VN$ и $CD$ параллельны, мы можем использовать теорему о параллельных линиях, чтобы установить соотношение между соответствующими сторонами параллелограмма и треугольника. В данном случае, соответствующие стороны $VN$ и $CD$ делятся в одном и том же отношении, то есть:

$VN/CD = DM/AB$

$VN/CD = AC/CD \times 1/2$

$VN/CD = 1/2 \times AC/CD$

Сокращаем $CD$:

$VN/CD = 1/2 \times AC$

В данном случае, $VN/CD = 3/2$, так как соотношение $VN:CD$ равно $3:2$. Поэтому, если $DM \perp AC$, то $VN:CD = 3:2$.

Вывод: Если $DM \perp AC$ в параллелограмме $ABCD$, то соотношение между сторонами $VN$ и $CD$ равно $3:2$.