Question

Прямая проходит через вершину параллелограмма и делит его площадь в отношении 1:2. В каком отношении эта прямая делит его сторону?

Answer 1

Пусть прямая СЕ проходит через вершину С параллелограмма ABCDE и делит его сторону на отрезки АЕ и ЕD. При этом образуются треугольник ECD и четырехугольник ABCE. Поскольку BC║AE, этот четырехугольник является трапецией.

Пусть АЕ = а, ЕD = b.

Тогда ВС = а + b.

Проведем высоту трапеции к ее основанию a и высоту треугольника к его стороне b.

Эти высоты будут равны, как противоположные стороны образованного прямоугольника.

Чтобы найти площадь треугольника, нужно произведение стороны на высоту, проведенную к ней, разделить пополам.

Значит, $S_{ECD} = \frac{bh}{2}$.

Чтобы найти площадь трапеции, нужно умножить половину суммы ее оснований на высоту.

Значит, $S _{ABCE} = \frac{a+b+a}{2}\cdot h = \frac{h \cdot (2a+b)}{2}$.

По условию, площади относятся как 1:2.

Отсюда, имеем:

$\frac{bh}{2} : \frac{h \cdot (2a+b)}{2} = \frac{1}{2};$

$\frac{bh}{2} \cdot \frac{2}{h \cdot (2a+b)} = \frac{1}{2};$

$\frac{b}{2a+b}=\frac{1}{2}$.

По свойству пропорции, произведение ее крайних членов равно произведению средних:

$2b = 2a + b;$

$b = 2a.$

$\frac{b}{a}=\frac{2}{1}$.

Ответ: прямая делит сторону параллелограмма в отношении 2:1.

Answer 2

Прямая, проходящая через вершину параллелограмма и делящая его площадь в отношении 1:2, делит его сторону в каком отношении?

Чтобы найти отношение, в котором прямая делит сторону параллелограмма, мы можем использовать свойство подобия треугольников.

Пусть сторона параллелограмма, которую прямая делит, имеет длину x. Тогда другая часть этой стороны будет иметь длину 2x, так как прямая делит площадь параллелограмма в отношении 1:2.

Теперь рассмотрим треугольники, образованные этой прямой и стороной параллелограмма. По свойству подобия треугольников, отношение длин соответствующих сторон будет равно отношению площадей этих треугольников.

Так как прямая делит площадь параллелограмма в отношении 1:2, то площадь одного из треугольников будет составлять 1/3 от площади параллелограмма, а площадь другого треугольника будет составлять 2/3 от площади параллелограмма.

Теперь мы можем записать отношение длин соответствующих сторон треугольников:

x / 2x = 1/3 / 2/3

Упрощая это выражение, получаем:

x / 2x = 1/2

Таким образом, прямая делит сторону параллелограмма в отношении 1:2.