Question

ГЕОМЕТРИЯ 10 КЛАСС, ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!! Если выбрать 4 случайные точки на сфере которые образуют вершины тетраидра, какова вероятность что центр сферы окажется внутри полученной фигуры.

Answer 1

Ответ: 1/8

Пошаговое объяснение:

Чтобы найти вероятность выбрать на сфере 4 точки, чтобы центр окружности лежал внутри тетраэдра образованного этими точками, нужно найти вероятность, что каждая из 4-x выбранных последовательных точек имеет верное положение.

Вероятность того, что первая точка будет выбрана правильно равна 1. После выбора первой точки будем смотреть на сферу вдоль луча соединяющего центр сферы и данную точку (смотрим на соответствующую проекцию в виде окружности)

При выборе оставшихся трех точек возможны 3 случая:

1) Проекции трех оставшихся точек вместе с проекцией кругового сечения,(оно может быть эллипсом) в которое они вписаны образуют такой треугольник, что проекция центра сферы и первой точки (они сливаются при такой точке обзора) будет снаружи данного треугольника.

В данном случае центр сферы гарантированно не попадет внутрь тетраэдра.

2) Проекции трех оставшихся точек вместе с проекцией сферы образуют такой треугольник, что проекция центра сферы и первой точки (они сливаются при такой точке обзора) будет внутри данного треугольника, а также все данные точки будут лежат в противоположном полушаре от первой точки. За плоскость деления  шара считаем диаметральное сечение перпендикулярное лучу обзора.(луч проходящий через первую точку и центр шара). В этом случае центр сферы попадает внутрь тетраэдра. (Рисунок 1)

3) Аналогично как случай 2, но оставшиеся 3 точки находятся в том же полушаре, что и первая точка. В этом случае центр сферы  НЕ попадает внутрь тетраэдра.

Количество положений точек в случае 3 равно числу положений точек в случае 2 из-за симметрии.

Таким образом, вероятность попадания центра сферы внутрь вписанного в нее тетраэдра вдвое меньше чем вероятность попадания точки пересечения осей эллипса во вписанный в нее треугольник, что при рассмотрении наклона данной плоскости равносильно задаче попадания центра окружности во вписанный треугольник. То есть если точка лежит внутри плоской фигуры, то она будет лежат и внутри проекции этой плоской фигуры. (Рисунок 2)

Таким образом, мы ловко свели 3-d задачу к ее 2-d аналогу.

Для того, чтобы центр окружности был внутри вписанного треугольника, достаточно, чтобы он был остроугольным.

Проведем луч соединяющий одну из вершин и центр окружности, поделив окружность на два круга, тогда остроугольность будет достигнута при 2-x условиях.

1) Другие две точки лежат в разных полукругах.

2) Угол при первой вершине будет острым.

Вероятность первого условия равна сумме вероятностей, что вторая точка находится в первой полукруге, а третья во втором и наоборот, то есть: p1 = 1/2*1/2 + 1/2*1/2 = 1/2

Вероятность второго события: p2 = 90/180 = 1/2.

Таким образом вероятность того, что центр окружности попадет во вписанный треугольник равна: p3 = 1/2 * 1/2 = 1/4.

Из сказанного выше, вероятность попадания центра сферы во вписанный в нее тетраэдр:

P = p3/2 = 1/8

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать некоторую геометрическую интуицию. Давайте разберемся.

Предположим, что мы выбираем 4 случайные точки на сфере, образуя тетраэдр. Возьмем одну из этих точек в качестве вершины тетраэдра и проведем прямую через эту точку и центр сферы. Таким образом, мы разделим тетраэдр на две пирамиды.

Теперь давайте рассмотрим симметричные пирамиды, полученные из двух возможных выборов вершины тетраэдра. Обратите внимание, что центр сферы будет находиться внутри одной из этих пирамид, если и только если центральный угол между линиями, соединяющими центр сферы с двумя другими вершинами тетраэдра, меньше 90 градусов.

Мы можем сказать, что если мы выберем три случайные точки на сфере, они образуют плоскость. И, так как каждая из этих точек выбирается равномерно и случайно, вероятность того, что центральный угол будет меньше 90 градусов, равна вероятности того, что четвертая случайная точка, выбранная на сфере, окажется внутри соответствующей пирамиды.

Таким образом, вероятность того, что центр сферы окажется внутри полученной фигуры, равна вероятности того, что случайно выбранная точка на сфере окажется внутри соответствующей пирамиды.

Теперь рассмотрим вероятность того, что точка на сфере окажется внутри пирамиды. Эта вероятность зависит от отношения объема пирамиды к объему сферы. Так как мы выбираем точки на сфере случайно и равномерно, то эта вероятность будет пропорциональна отношению объема пирамиды к объему сферы.

Для подсчета этого отношения, нам понадобятся более конкретные данные, такие как радиус сферы или длина стороны тетраэдра. Без этих данных я не могу дать точный ответ на задачу.