Question

8. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами А(1 ; 2) В(2 ; 5) С(5 ; 4) D( 4; 1) є прямокутником.​

Answer 1

Доведення, що АВСД є прямокутником, скидаю на фото

Використовуючи знання визначення координат вектора та скалярного добутку векторів

Answer 2

Для доведення того, що чотирикутник ABCD є прямокутником, нам потрібно перевірити, чи має він всі характеристики прямокутника.

Характеристики прямокутника: 1. У прямокутника всі кути рівні 90 градусів. 2. Протилежні сторони прямокутника паралельні і рівні між собою. 3. Довжина однієї сторони прямокутника дорівнює довжині протилежної сторони.

Метод 1: Використання формули для визначення кутів

1. Знайдемо вектори AB, BC, CD та DA, які відповідають сторонам чотирикутника ABCD:

Вектор AB: (2 - 1, 5 - 2) = (1, 3) Вектор BC: (5 - 2, 4 - 5) = (3, -1) Вектор CD: (4 - 5, 1 - 4) = (-1, -3) Вектор DA: (1 - 4, 2 - 1) = (-3, 1)

2. Знайдемо скалярний добуток векторів AB і BC, BC і CD, CD і DA, DA і AB:

AB • BC = (1 * 3) + (3 * -1) = 0 BC • CD = (3 * -1) + (-1 * -3) = 0 CD • DA = (-1 * -3) + (-3 * 1) = 0 DA • AB = (-3 * 1) + (1 * 3) = 0

3. Якщо скалярний добуток будь-яких двох векторів дорівнює нулю, це означає, що вектори перпендикулярні, тобто відповідні сторони чотирикутника ABCD є перпендикулярними.

4. З цього можемо зробити висновок, що всі кути чотирикутника ABCD є прямих кутів, оскільки вектори, що відповідають сторонам, є перпендикулярними.

Метод 2: Використання властивостей прямокутника

1. Знайдемо довжини сторін чотирикутника ABCD:

AB = sqrt((2 - 1)^2 + (5 - 2)^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10) BC = sqrt((5 - 2)^2 + (4 - 5)^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10) CD = sqrt((4 - 5)^2 + (1 - 4)^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10) DA = sqrt((1 - 4)^2 + (2 - 1)^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10)

2. Перевіримо, чи виконуються властивості прямокутника:

- Всі кути прямокутника ABCD будуть рівні 90 градусів, якщо сума квадратів довжин протилежних сторін дорівнюватиме. AB^2 + BC^2 = (sqrt(10))^2 + (sqrt(10))^2 = 10 + 10 = 20 CD^2 + DA^2 = (sqrt(10))^2 + (sqrt(10))^2 = 10 + 10 = 20 Оскільки AB^2 + BC^2 = CD^2 + DA^2, то властивість виконується. - Протилежні сторони прямокутника ABCD є паралельними: AB || CD (їх вектори мають співвідношення в пропорції) BC || DA (їх вектори мають співвідношення в пропорції) Оскільки протилежні сторони паралельні, властивість виконується. - Довжини протилежних сторін ABCD рівні: AB = CD (довжини сторін однакові) BC = DA (довжини сторін однакові) Оскільки протилежні сторони рівні, властивість виконується.

Отже, чотирикутник ABCD з вершинами A(1, 2), B(2, 5), C(5, 4) і D(4, 1) є прямокутником, оскільки має всі характеристики, що відповідають прямокутнику.