Question

Доведіть,що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(3;-1) В(2;3)С(-2;2)D(-1;-2) є прямокутником

Answer 1

Ответ:

Смотри объяснения.

Объяснение:

Найдем стороны данного четырехугольника:

|AB| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)) = √((-1)² + (4)²) = √17 ед.

|CD| = √((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²)) = √(1² + (-4)²) = √17 ед.

|BC| = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²)) = √((-4)² + (-1)²) = √17 ед.

|AD| = √((Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²)) = √((-4)² + (-1)²) = √17 ед.

Так как противоположные стороны четырехугольника попарно равны, четырехугольник ABCD - параллелограмм.

Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. Проверим это на векторах АВ и ВС:

(АВ·ВС) = Xab·Xbc + Yab·Ybc = (-1)·(-4) + 4·(-1) = 4-4 =0.

Таким образом, вектора (стороны параллелограмма) АВ и ВС перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого угол между смежными сторонами равен 90°, является прямоугольником, а прямоугольник с равными сторонами является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Чотирикутник ABCD

Для того чтобы довести, что чотирикутник ABCD с вершинами в точках A(3;-1), B(2;3), C(-2;2) и D(-1;-2) является прямоугольником, нам нужно проверить два условия:

1. Проверить, являются ли противоположные стороны чотирикутника ABCD параллельными. 2. Проверить, являются ли все углы чотирикутника ABCD прямыми углами.

Проверка параллельности сторон

Для проверки параллельности сторон, мы можем использовать формулу наклона прямой, которая определяется двумя точками. Если наклоны противоположных сторон равны, то стороны параллельны.

Наклон прямой между точками (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Проверим параллельность сторон AB и CD, а также сторон BC и AD.

Наклон стороны AB: m_AB = (3 - (-1)) / (2 - 3) = 4 / -1 = -4

Наклон стороны CD: m_CD = (-2 - (-1)) / (-2 - 3) = -1 / -5 = 1/5

Наклон стороны BC: m_BC = (2 - 3) / (-2 - (-1)) = -1 / -1 = 1

Наклон стороны AD: m_AD = (-2 - (-1)) / (-2 - 3) = -1 / -5 = 1/5

Из полученных значений наклонов видно, что m_AB = m_CD и m_BC = m_AD. Следовательно, стороны AB и CD, а также стороны BC и AD являются параллельными.

Проверка прямых углов

Для проверки прямых углов, мы можем использовать формулу наклона прямой, которая определяется двумя точками. Если наклон противоположных сторон равен -1, то угол между ними является прямым углом.

Проверим углы A и B, а также углы B и C.

Наклон стороны AB: m_AB = (3 - (-1)) / (2 - 3) = 4 / -1 = -4

Наклон стороны BC: m_BC = (2 - 3) / (-2 - (-1)) = -1 / -1 = 1

Из полученных значений наклонов видно, что m_AB * m_BC = -4 * 1 = -4. Следовательно, угол между сторонами AB и BC является прямым углом.

Вывод

Исходя из результатов проверки, мы можем сделать вывод, что чотирикутник ABCD с вершинами в точках A(3;-1), B(2;3), C(-2;2) и D(-1;-2) является прямоугольником. Стороны AB и CD, а также стороны BC и AD являются параллельными, а углы между сторонами AB и BC являются прямыми углами.

Примечание: Для подтверждения этих результатов рекомендуется провести дополнительные геометрические и алгебраические вычисления.