Question

Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников

Answer 1

Ответ:

Объяснение:Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано: ΔАВС подобен ΔКLМ.

Доказать: S(ABC)S(KLM)=k²

Смотри чертеж.

Доказательство: из подобия треугольников следует, что АВКL=ВСLМ=АСКМ=k

Известно, что, если у двух треугольников равны углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих данные углы, т.е.

S(ABC)S(KLM)=(AB*AC)(KL*KM)=ABKL * ACKM = k * k = k².

Теорема доказана.

Answer 2

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Для подобных треугольников справедлива теорема об отношении площадей. Эта теорема утверждает, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения длин соответствующих сторон.

Доказательство этой теоремы можно провести следующим образом:

Пусть у нас есть два подобных треугольника. Обозначим их как треугольник АВС и треугольник DEF. Пусть стороны треугольника АВС обозначены как АВ, ВС и АС, а стороны треугольника DEF обозначены как DE, EF и DF.

Так как треугольники АВС и DEF подобны, то отношение длин соответствующих сторон будет одинаковым. Обозначим это отношение как k. Тогда:

AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

Теперь рассмотрим площади треугольников АВС и DEF. Обозначим площади этих треугольников как S(АВС) и S(DEF) соответственно.

Площадь треугольника можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности. Так как треугольники АВС и DEF подобны, то их полупериметры и радиусы вписанных окружностей будут пропорциональны. Обозначим полупериметры треугольников АВС и DEF как p(АВС) и p(DEF) соответственно, а радиусы вписанных окружностей как r(АВС) и r(DEF).

Таким образом, у нас будет следующая пропорция:

p(АВС)/p(DEF) = r(АВС)/r(DEF) = k

Известно, что площадь треугольника можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности по формуле:

S = p * r

Тогда площади треугольников АВС и DEF будут равны:

S(АВС) = p(АВС) * r(АВС) S(DEF) = p(DEF) * r(DEF)

Так как отношение полупериметров и радиусов вписанных окружностей равно k, то отношение площадей будет также равно k:

S(АВС)/S(DEF) = (p(АВС) * r(АВС))/(p(DEF) * r(DEF)) = (p(АВС)/p(DEF)) * (r(АВС)/r(DEF)) = k * k = k^2

Таким образом, мы доказали, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения длин соответствующих сторон.

Пример использования теоремы об отношении площадей подобных треугольников

Давайте рассмотрим пример, чтобы проиллюстрировать использование теоремы об отношении площадей подобных треугольников.

Пусть у нас есть два подобных треугольника: треугольник АВС и треугольник DEF. Пусть стороны треугольника АВС равны 3, 4 и 5, а стороны треугольника DEF равны 6, 8 и 10.

Мы можем убедиться, что треугольники АВС и DEF подобны, так как отношение длин соответствующих сторон равно:

AB/DE = 3/6 = 1/2 BC/EF = 4/8 = 1/2 AC/DF = 5/10 = 1/2

Отношение длин соответствующих сторон равно 1/2.

Теперь мы можем использовать теорему об отношении площадей подобных треугольников, чтобы найти отношение площадей треугольников АВС и DEF.

Отношение площадей будет равно квадрату отношения длин соответствующих сторон:

S(АВС)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (1/2)^2 = 1/4

Таким образом, площадь треугольника АВС будет в 4 раза меньше площади треугольника DEF.

Это пример использования теоремы об отношении площадей подобных треугольников для нахождения отношения площадей двух подобных треугольников.