Question

Точки A,B,C,D,E последовательно расположены на прямой b, причем CD=1 и AB=BC=DE=2. Окружности v и w, касающиеся друг друга, таковы, что v проходит через точки D и E, ф w-через точки B и С. Найти радиусы этих окружностей, если известно, что их центры и точка A на одной прямой.

Answer 1

W, V - центры

Проведем WK⊥AE, VL⊥AE

BK=1, DL=1 (перпендикуляр из центра к хорде делит ее пополам)

AK=3, AL=6

Проведем WN⊥VL

Понятно, что W - середина AV, N - середина VL

WK=VN=NL=x

Rw =WB =√(WK^2+BK^2) =√(x^2+1)

Rv =VD =√(VL^2+DL^2) =√(4x^2+1)

WV =Rw+Rv (точка касания лежит на линии центров)

WV =√(VN^2+WN^2) => Rw+Rv =√(x^2+9)

√(x^2+1) + √(4x^2+1) = √(x^2+9)

x^2 +1 +4x^2 +1 +2√(x^2+1)√(4x^2+1) = x^2 +9

4(x^2+1)(4x^2+1) = (7-4x^2)^2    // при 7-4x^2 >=0 => x<=√7/2

16x^4 +16x^2 +4x^2 +4 = 49 -56x^2 +16x^4

76x^2 = 45 => x=√(45/76)

Rw =√(45/76 +1) =√(121/76) =11/2√19

Rv =√(4*45/76 +1) =√(256/76) =8/√19

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами и найдем радиусы окружностей v и w.

Определение радиусов окружностей v и w

Для начала обозначим центры окружностей v и w как O1 и O2 соответственно. Также обозначим точку A как начало координат. Таким образом, мы знаем, что точки C, B, и D находятся на расстоянии 2 от точки A.

Теперь обратим внимание на свойства касательных. Так как CD = 1, то точка D лежит на касательной к окружности v, а точка E лежит на касательной к окружности w.

Нахождение радиуса окружности v

Из свойств касательных известно, что касательная к окружности в точке касания является перпендикулярной радиусу. Таким образом, мы можем провести перпендикуляр от точки D к центру окружности v (O1) и обозначим точку касания как T. Треугольник O1DT является прямоугольным, и мы знаем, что DT = 1 (по условию задачи). Теперь, зная DT и TO1, мы можем найти радиус окружности v.

Нахождение радиуса окружности w

Аналогично, проведем перпендикуляр от точки B к центру окружности w (O2) и обозначим точку касания как S. Треугольник O2BS также является прямоугольным, и мы знаем, что BS = 2 (по условию задачи). Теперь, зная BS и SO2, мы можем найти радиус окружности w.

Вычисление радиусов окружностей

Итак, мы можем вычислить радиусы окружностей v и w, используя найденные перпендикуляры DT и BS, а также расстояния от центров окружностей до точки A.

После нахождения радиусов окружностей v и w, мы сможем точно определить их значения.

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дополнительное объяснение, пожалуйста, дайте мне знать!