Question

Отрезки `PH` и `PF` являются высотой и биссектрисой треугольника `PQR` соответственно. Известно, что ∠PQR-∠PRQ=22°. Найдите ∠HPF

Answer 1

Ответ:

∠HPF = α = 11°

Объяснение:

Дан треугольник PQR, у которого ∠PQR - ∠PRQ = 22°.

Даны высота треугольника PH и биссектриса PF.

Найти ∠HPF.

Решение:

Смотрите рисунок.

Так как PF - биссектриса ∠RPQ, то:

∠RPF = ∠FPQ = x

∠PHQ = ∠PHR = 90°

∠HPQ = y = 90° - ∠PQR

∠PQR = 90° - y

∠HPF = α = x - y

x = y + α

x + y = 90° - ∠PRQ

∠PRQ = 90° - (x + y) = 90° - (y + α + y) = 90° - 2y - α

По условию:

∠PQR - ∠PRQ = 22°

90° - y - (90° - 2y - α) = 22°

90° - y - 90° + 2y + α = 22°

y + α = 22°

Но y + α = x = 22°

∠RPQ = 2x = 2*22° = 44°

По теореме об углах треугольника:

∠RPQ + ∠PRQ + ∠PQR = 180°

Получаем систему:

{ ∠PQR + ∠PRQ = 180° - ∠RPQ = 180° - 44° = 136°

{ ∠PQR - ∠PRQ = 22°

Решая эту систему, получаем:

2*∠PQR = 136° + 22° = 158°

∠PQR = 158° : 2 = 79°

∠PRQ = 136° - ∠PQR = 136° - 79° = 57°

Из треугольника PHR:

∠RPH  = x + α = 90° - ∠PRQ = 90° - 57° = 33°

∠HPF = α = ∠RPH - x = 33° - 22° = 11°

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать свойства треугольников и углов.

Известно, что отрезок PH является высотой треугольника PQR, а отрезок PF является биссектрисой треугольника PQR. Дано также, что угол PQR минус угол PRQ равен 22 градусам.

Нахождение угла HPF

Для того чтобы найти угол HPF, нам нужно знать угол PQR или PRQ. У нас есть только разность этих углов, но мы можем воспользоваться свойством биссектрисы треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника: Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на две отрезка, пропорциональных смежным сторонам.

Мы можем воспользоваться этим свойством, чтобы найти угол PRQ.

Пусть отрезок PH равен a, а отрезок PF равен b. Тогда, по свойству биссектрисы:

PH/PF = QR/RF

Мы знаем, что отрезок PH является высотой треугольника, поэтому PH перпендикулярен стороне QR. Это означает, что угол PHR прямой. Также известно, что угол PHR равен углу PQR, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых.

Из свойств прямоугольного треугольника следует, что:

PH/PR = sin(PHR) = sin(PQR)

Таким образом, мы можем записать:

a/PR = sin(PQR)

a = PR * sin(PQR)

Нахождение угла HPF (продолжение)

Теперь мы можем выразить отрезок RF через отрезок PR и отрезок PF:

RF = PR - PF

Тогда, используя свойство биссектрисы:

a/b = QR/(PR - PF)

Мы также знаем, что угол PQR минус угол PRQ равен 22 градусам:

PQR - PRQ = 22

Так как угол PQR равен углу PHR, мы можем записать:

PQR = PRQ + 22

Теперь мы можем использовать эти выражения, чтобы найти угол HPF.

Вычисление угла HPF

Мы уже нашли выражение для отрезка a через отрезок PR:

a = PR * sin(PQR)

Также мы знаем, что:

a/b = QR/(PR - PF)

Подставляя найденное выражение для a, получаем:

(PR * sin(PQR))/b = QR/(PR - PF)

Теперь мы можем выразить QR через PR и PF:

QR = (PR * sin(PQR) * (PR - PF))/b

Таким образом, у нас есть выражение для QR через известные отрезки PR и PF.

Наконец, мы можем найти угол HPF, используя свойство биссектрисы:

∠HPF = ∠HPQ + ∠PFR

Так как мы знаем угол PQR, мы можем выразить угол HPQ через него:

∠HPQ = 180 - ∠PQR

Теперь мы можем вычислить угол HPF, зная значения углов PQR и HPQ.