Question

У колі з центром у точці О проведеного два різні хорди AB і CD. Доведіть, що кут ABO = кут CDO

Answer 1

Відповідь:

Якщо хорди рівні, то ▲АОВ s ▲СОD рівні (АО=ВО=СО=ДО - це радуси і АВ=СD). Маємо рівність тр-ків за трьома сторонами.

У рівних тр-ках відповідні кути рівні, отже ∠АВО = ∠СDО.

Доведено.

Answer 2

Для доведення того, що кут ABO дорівнює куту CDO, спочатку звернемо увагу на те, що коло є симетричним відносно своєї осі. Це означає, що якщо ми маємо дві хорди AB і CD, то їх відповідні кути ABO і CDO також будуть рівні.

Тепер доведемо це. З точки O проведемо відрізки до точок A і C, які перетинають коло в точках E і F відповідно. Оскільки OE і OF - радіуси кола, то вони рівні. Також, оскільки вони перпендикулярні до хорд AB і CD відповідно, то кути OEA і OFC також рівні 90 градусів.

Тепер ми маємо два прямокутних трикутники OEA і OFC, де OE=OF, EA=CF (вони дорівнюють півхордам), і кути OEA і OFC рівні 90 градусів. Отже, за критерієм гомотетії прямокутних трикутників, трикутники OEA і OFC подібні.

Це означає, що кути AEO і CFO рівні між собою. Оскільки кут AEO дорівнює куту ABO, а кут CFO дорівнює куту CDO, то ми довели, що кут ABO дорівнює куту CDO.