Question

Даются точки К(-2;1), L(5;-6). Нужно найти: а) Найдите координаты точки М, где отрезок КЛ находится в отношении 2:5. б) Найдите координаты точки N, где отрезок KL находится в отношении 4:3.​

Answer 1

Ответ:   M(0;-1) , N(2;-3) .

Объяснение.

Если известны две точки плоскости $\bf A(x_{A};y_{A})\ ,\ B(x_{B};y_{B})$ , то координаты точки  $\bf M(x_{M};y_{M})$, которая делит отрезок  в отношении   $\bf \lambda =\dfrac{AM}{BM}$, выражаются формулами:

 $\bf x_{M}=\dfrac{x_{A}+\lambda \cdot x_{B}}{1+\lambda }$       ,     $\bf y_{M}=\dfrac{y_{A}+\lambda \cdot y_{B}}{1+\lambda }$   .

$\displaystyle 1)\ \ K(-2;1)\ ,\ L(5;-6)\ \ ,\ \ \lambda =\dfrac{KM}{LM}=\frac{2}{5}\\\\\\x_{M}=\frac{-2+\frac{2}{5}\cdot 5}{1+\frac{2}{5}}=\frac{-2+2}{7/5}=0\ \ ,\\\\\\y_{M}=\frac{1+\frac{2}{5}\cdot (-6)}{1+\frac{2}{5}}=\frac{5-12}{7}=-1\\\\\\M(\, 0\, ;-1\, )$

$\displaystyle 2)\ \ \lambda =\frac{KN}{LN}=\frac{4}{3}\\\\\\x_{N}=\frac{-2+\frac{4}{3}\cdot 5}{1+\frac{4}{3}}=\frac{\frac{-6+20}{3}}{\frac{3+4}{3}}=\frac{14}{7}=2\\\\\\y_{N}=\frac{1+\frac{4}{3}\cdot (-6)}{1+\frac{4}{3}}=\frac{1-8}{\frac{3+4}{3}}=\frac{-7\cdot 3}{7}=-\frac{21}{7}=-3\\\\\\N(\, 2\, ;-3\, )$  

Answer 2

а) Чтобы найти координаты точки М, где отрезок КЛ делится в отношении 2:5, мы можем использовать формулу смешанных координат:

М(x, y) = ( (5 * x2 + 2 * x1) / (2 + 5), (5 * y2 + 2 * y1) / (2 + 5) ),

где К(x1, y1) = (-2, 1) и L(x2, y2) = (5, -6).

Подставим значения координат в формулу:

М(x, y) = ( (5 * 5 + 2 * (-2)) / (2 + 5), (5 * (-6) + 2 * 1) / (2 + 5) ) = ( (25 - 4) / 7, (-30 + 2) / 7 ) = ( 21 / 7, -28 / 7 ) = ( 3, -4 ).

Таким образом, координаты точки М равны М(3, -4).

б) Чтобы найти координаты точки N, где отрезок KL делится в отношении 4:3, мы можем снова использовать формулу смешанных координат:

N(x, y) = ( (3 * x2 + 4 * x1) / (4 + 3), (3 * y2 + 4 * y1) / (4 + 3) ),

где К(x1, y1) = (-2, 1) и L(x2, y2) = (5, -6).

Подставим значения координат в формулу:

N(x, y) = ( (3 * 5 + 4 * (-2)) / (4 + 3), (3 * (-6) + 4 * 1) / (4 + 3) ) = ( (15 - 8) / 7, (-18 + 4) / 7 ) = ( 7 / 7, -14 / 7 ) = ( 1, -2 ).

Таким образом, координаты точки N равны N(1, -2).