Question

«Окружность» Вариант 1. 1.Центральный угол ВОС равен 40°. Найти вписанный угол, опирающийся на дугу ВС. 2. Прямая АВ касается окружности в точке В. Радиус окружности 9 см, а центр О, АО=41 см. Найти АВ. 3.В окружности хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. АВ=0,7 см, ВЕ=0,5 см, СЕ=0,4 см. Найти ДЕ, ДС. 4.Четырехугольник АВСД вписан в окружность диаметра АС. Найдите углы четырехугольника, если дуга ВС=100°, дуга СД=60°. 5.В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Answer 1

1) вписанный угол равен половине центрального угла по свойству вписанного угла => вписанный угол равен 20°
2) АВ-касательная к окружности, ОВ-радиус окружности, следовательно АВ перпендикулярно ОВ.
Рассмотрим прямоугольный треугольние АВО, где, В=90*, ОА=41 см, ОВ=9 см.
По теореме Пифагора найдём АВ:
АВ=sqrt { 41^2-9^2 } =sqrt { 1600 } =40
3)АВ и СД пересекающиеся в точке Е хорды окружности, по свойству которых, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Пусть длина отрезка СЕ = Х см, тогда ДЕ = (Х + 5) см.

Тогда АЕ * ВЕ = СЕ * ДЕ.

4 * 6 = Х * (Х + 5).

Х2 + 5 * Х – 24 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х1 = -8. (Не подходит так как < 0).

Х2 = 3 см.

СЕ = 3 см, ДЕ = 3 + 5 = 8 см.

Ответ: Длина отрезка СЕ равна 3 см, длина ДЕ равна 8
см.
4)Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги. Углы B и D опираются на полуокружность ( AC как раз делит эту окружность на 2 равные части), значит, они равны по 90 гр. Дальше, сумма дуг BC и CD - дуга BCD, на которую угол A опирается, 100+60=160 гр., значит вписанный угол A равен 80 гр., а оставшийся угол равен 100 гр., по теореме сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180, можно было и подсчитать сумму оставшейся дуги : 360-(100+160)=200 гр., соответственно угол равен 100 гр. Ответ : A=80 гр., B=90 гр., C=100 гр., D=90 гр.
5)1. А, В, С - вершины треугольника. АС = 12 см.

2. Вычисляем длины боковых сторон АВ и ВС треугольника:

АВ = ВС = (32 - 12)/2 = 10 см.

3. Из вершины В проведем высоту ВЕ. В равнобедренном треугольнике, согласно его

свойствам, она выполняет еще функции медианы. Медиана делит сторону АС на два

одинаковых отрезка. Следовательно, АЕ = СЕ = 12 : 2 = 6 см.

4. Вычисляем длину высоты ВЕ. Для расчета используем теорему Пифагора:

ВЕ = √АВ² - АЕ² = √10² - 6² = √100 - 36 = √64 = 8 см.

5. Вычисляем площадь (S) заданного треугольника:

S = АС х ВЕ/2 = 12 х 8/2 = 48 см².

6. Вычисляем радиус окружности (r), которая вписана в треугольник:

r = 2S/р.

р (периметр) = 10 + 10 + 12 = 32 см.

r = 2 х 48/32 = 3 см.

Ответ: радиус окружности, которая вписана в треугольник, равен 3 см.

Answer 2

1. Чтобы найти вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, нам нужно учесть свойство вписанных углов, которое гласит, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, будет равен 40° / 2 = 20°.

2. Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательной, которая перпендикулярна радиусу окружности в точке касания. Поэтому треугольник ОАВ является прямоугольным. Мы знаем, что ОА = 41 см, а радиус ОВ = 9 см. Используем теорему Пифагора: ОА² = ОВ² + АВ² 41² = 9² + АВ² 1681 = 81 + АВ² АВ² = 1600 АВ = √1600 АВ = 40 см

3. Для нахождения ДЕ и ДС воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение длин отрезков этих хорд равно. То есть, АВ * ВЕ = СЕ * ДЕ. 0,7 * 0,5 = 0,4 * ДЕ 0,35 = 0,4 * ДЕ ДЕ = 0,35 / 0,4 ДЕ = 0,875 см

   Также, АВ * ВЕ = СЕ * ДС. 0,7 * 0,5 = 0,4 * ДС 0,35 = 0,4 * ДС ДС = 0,35 / 0,4 ДС = 0,875 см

   Таким образом, ДЕ = ДС = 0,875 см.

4. Чтобы найти углы четырехугольника АВСД, мы должны использовать свойство, которое гласит, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. В данном случае, дуга ВС = 100°, а дуга СД = 60°.

   Угол ВАС равен половине дуги ВС, поэтому ВАС = 100° / 2 = 50°. Угол ВДС равен половине дуги СД, поэтому ВДС = 60° /