Question

До бічних сторiн рiвнобедреного трикутника проведено висоти. Довести, що пряма, яка сполучає вершину трикутника з точкою перетину вказаних висот, ділить кут при вершині на два рівних кути.​

Answer 1

Пусть H - точка пересечения высот AA1 и CC1.

В любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке - ортоцентре треугольника.

Высота BB1 проходит через ортоцентр H.

В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также биссектрисой и медианой.

Доказали, что BB1 проходит через точку H и делит угол B на два равных угла.

Answer 2

Для доведення даного твердження розглянемо рівнобедрений трикутник ABC з висотами AD і BE, де D і E - це точки перетину висот з протилежними сторонами BC і AC відповідно.

За визначенням висоти, вони перпендикулярні до сторін трикутника. Отже, ми можемо записати AD ⊥ BC і BE ⊥ AC.

Ми повинні довести, що пряма, яка сполучає вершину трикутника A з точкою перетину висот H, ділить кут BAC на два рівні кути.

Для цього спочатку розглянемо трикутник AHD. Ми знаємо, що AD ⊥ BC, тому кут BAD дорівнює куту AHD, оскільки вони є протилежними кутами між прямими та перпендикулярними лініями. Тобто ми маємо BAD = AHD.

Аналогічно, розглянемо трикутник AHE. Ми знаємо, що BE ⊥ AC, тому кут BAE дорівнює куту AHE, оскільки вони є протилежними кутами між прямими та перпендикулярними лініями. Тобто ми маємо BAE = AHE.

Тепер зглянемо на трикутник ABC. За твердженням, висоти AD і BE перетинаються в точці H. Також, AD і BE є рівними, оскільки вони є висотами одного й того ж трикутника. Тому ми маємо AD = BE.

Застосуємо тепер теорему про однакові кути в рівнобедреному трикутнику. Ми маємо:

BAD = AHD (з вищезгаданого) BAE = AHE (з вищезгаданого) AD = BE (з вищезгаданого)

Отже, за теоремою про однакові кути, кути при вершині A трикутника BAC діляться прямою, яка сполучає вершину A з точкою перетину висот H, на два рівних кути.

Таким чином, ми довели, що пряма, яка сп